Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9153 / 25791
↖ ↑ ↗
← S 71.297271°
W 79.442138°		 ← 391.71 m → S 71.297271°
W 79.431153°		 →
↑
391.69 m
↓
↑
391.69 m
↓
S 71.300793°
W 79.442138°		 ← 391.64 m →
153 414 m²		 S 71.300793°
W 79.431153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279342651367188 y=0.787094116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279342651367188 × 215)
    floor (0.279342651367188 × 32768)
    floor (9153.5)     		tx = 9153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787094116210938 × 215)
    floor (0.787094116210938 × 32768)
    floor (25791.5)     		ty = 25791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9153 / 25791 ti = "15/9153/25791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9153/25791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9153 ÷ 215
    9153 ÷ 32768     		x = 0.279327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25791 ÷ 215
    25791 ÷ 32768     		y = 0.787078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.44134521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38652688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787078857421875 × 2 - 1) × π
    -0.57415771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80376965890347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38652688} λ = -1.38652688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80376965890347))-π/2
    2×atan(0.164676940797197)-π/2
    2×0.163212105489239-π/2
    0.326424210978478-1.57079632675     		φ = -1.24437212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38652688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.442138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24437212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.297271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9153 KachelY 25791 -1.38652688 -1.24437212 -79.442138 -71.297271
    Oben rechts KachelX + 1 9154 KachelY 25791 -1.38633514 -1.24437212 -79.431153 -71.297271
    Unten links KachelX 9153 KachelY + 1 25792 -1.38652688 -1.24443360 -79.442138 -71.300793
    Unten rechts KachelX + 1 9154 KachelY + 1 25792 -1.38633514 -1.24443360 -79.431153 -71.300793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24437212--1.24443360) × R
    6.14800000000582e-05 × 6371000     		dl = 391.68908000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24437212--1.24443360) × R
    6.14800000000582e-05 × 6371000     		dr = 391.68908000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38652688--1.38633514) × cos(-1.24437212) × R
    0.000191739999999996 × 0.320658112167159 × 6371000     		do = 391.708106525969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38652688--1.38633514) × cos(-1.24443360) × R
    0.000191739999999996 × 0.320599878012355 × 6371000     		du = 391.636969106868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24437212)-sin(-1.24443360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320658112167159-0.320599878012355)×R²
    abs(-1.38633514--1.38652688)×5.82341548032717e-05×R²
    0.000191739999999996×5.82341548032717e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.82341548032717e-05×40589641000000     		ar = 153413.856047166m²