Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 915 / 556
↖ ↑ ↗
← N 63.233628°
W 19.160156°		 ← 8 802.60 m → N 63.233628°
W 18.984375°		 →
↑
8 814.66 m
↓
↑
8 814.66 m
↓
N 63.154355°
W 19.160156°		 ← 8 826.74 m →
77 698 318 m²		 N 63.154355°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447021484375 y=0.271728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447021484375 × 211)
    floor (0.447021484375 × 2048)
    floor (915.5)     		tx = 915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271728515625 × 211)
    floor (0.271728515625 × 2048)
    floor (556.5)     		ty = 556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 915 / 556 ti = "11/915/556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/915/556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 915 ÷ 211
    915 ÷ 2048     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 556 ÷ 211
    556 ÷ 2048     		y = 0.271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271484375 × 2 - 1) × π
    0.45703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43580601741992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43580601741992))-π/2
    2×atan(4.20303136036834)-π/2
    2×1.33721566155042-π/2
    2.67443132310084-1.57079632675     		φ = 1.10363500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10363500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.233628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 915 KachelY 556 -0.33440781 1.10363500 -19.160156 63.233628
    Oben rechts KachelX + 1 916 KachelY 556 -0.33133985 1.10363500 -18.984375 63.233628
    Unten links KachelX 915 KachelY + 1 557 -0.33440781 1.10225144 -19.160156 63.154355
    Unten rechts KachelX + 1 916 KachelY + 1 557 -0.33133985 1.10225144 -18.984375 63.154355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10363500-1.10225144) × R
    0.00138355999999984 × 6371000     		dl = 8814.66075999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10363500-1.10225144) × R
    0.00138355999999984 × 6371000     		dr = 8814.66075999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33133985) × cos(1.10363500) × R
    0.00306796000000004 × 0.450353593075369 × 6371000     		do = 8802.59924276083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33133985) × cos(1.10225144) × R
    0.00306796000000004 × 0.451588473587174 × 6371000     		du = 8826.73618410037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10363500)-sin(1.10225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450353593075369-0.451588473587174)×R²
    abs(-0.33133985--0.33440781)×0.00123488051180459×R²
    0.00306796000000004×0.00123488051180459×6371000²
    0.00306796000000004×0.00123488051180459×40589641000000     		ar = 77698318.0004266m²