Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 915 / 463
↖ ↑ ↗
← N 69.718107°
W 19.160156°		 ← 6 775.40 m → N 69.718107°
W 18.984375°		 →
↑
6 785.18 m
↓
↑
6 785.18 m
↓
N 69.657086°
W 19.160156°		 ← 6 794.92 m →
46 038 544 m²		 N 69.657086°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447021484375 y=0.226318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447021484375 × 211)
    floor (0.447021484375 × 2048)
    floor (915.5)     		tx = 915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226318359375 × 211)
    floor (0.226318359375 × 2048)
    floor (463.5)     		ty = 463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 915 / 463 ti = "11/915/463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/915/463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 915 ÷ 211
    915 ÷ 2048     		x = 0.44677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 463 ÷ 211
    463 ÷ 2048     		y = 0.22607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22607421875 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33440781} λ = -0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7211264439585))-π/2
    2×atan(5.59082266699345)-π/2
    2×1.39380341846664-π/2
    2.78760683693329-1.57079632675     		φ = 1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 915 KachelY 463 -0.33440781 1.21681051 -19.160156 69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 916 KachelY 463 -0.33133985 1.21681051 -18.984375 69.718107
    Unten links KachelX 915 KachelY + 1 464 -0.33440781 1.21574550 -19.160156 69.657086
    Unten rechts KachelX + 1 916 KachelY + 1 464 -0.33133985 1.21574550 -18.984375 69.657086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21681051-1.21574550) × R
    0.00106501000000003 × 6371000     		dl = 6785.17871000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21681051-1.21574550) × R
    0.00106501000000003 × 6371000     		dr = 6785.17871000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33440781--0.33133985) × cos(1.21681051) × R
    0.00306796000000004 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 6775.40130699361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33440781--0.33133985) × cos(1.21574550) × R
    0.00306796000000004 × 0.347638022352561 × 6371000     		du = 6794.92345429871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21681051)-sin(1.21574550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.347638022352561)×R²
    abs(-0.33133985--0.33440781)×0.000998781035116303×R²
    0.00306796000000004×0.000998781035116303×6371000²
    0.00306796000000004×0.000998781035116303×40589641000000     		ar = 46038543.6806351m²