Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9148 / 9804
↖ ↑ ↗
← S 33.358062°
E 21.005859°		 ← 2 040.70 m → S 33.358062°
E 21.027832°		 →
↑
2 040.50 m
↓
↑
2 040.50 m
↓
S 33.376412°
E 21.005859°		 ← 2 040.27 m →
4 163 610 m²		 S 33.376412°
E 21.027832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558380126953125 y=0.598419189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558380126953125 × 214)
    floor (0.558380126953125 × 16384)
    floor (9148.5)     		tx = 9148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598419189453125 × 214)
    floor (0.598419189453125 × 16384)
    floor (9804.5)     		ty = 9804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9148 / 9804 ti = "14/9148/9804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9148/9804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9148 ÷ 214
    9148 ÷ 16384     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9804 ÷ 214
    9804 ÷ 16384     		y = 0.598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.618194257500244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618194257500244))-π/2
    2×atan(0.538916704295608)-π/2
    2×0.494294159791767-π/2
    0.988588319583534-1.57079632675     		φ = -0.58220801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58220801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.358062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9148 KachelY 9804 0.36662141 -0.58220801 21.005859 -33.358062
    Oben rechts KachelX + 1 9149 KachelY 9804 0.36700490 -0.58220801 21.027832 -33.358062
    Unten links KachelX 9148 KachelY + 1 9805 0.36662141 -0.58252829 21.005859 -33.376412
    Unten rechts KachelX + 1 9149 KachelY + 1 9805 0.36700490 -0.58252829 21.027832 -33.376412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58220801--0.58252829) × R
    0.000320279999999951 × 6371000     		dl = 2040.50387999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58220801--0.58252829) × R
    0.000320279999999951 × 6371000     		dr = 2040.50387999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36700490) × cos(-0.58220801) × R
    0.000383490000000042 × 0.835250569559969 × 6371000     		do = 2040.69654490506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36700490) × cos(-0.58252829) × R
    0.000383490000000042 × 0.835074414514281 × 6371000     		du = 2040.26616029211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58220801)-sin(-0.58252829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835250569559969-0.835074414514281)×R²
    abs(0.36700490-0.36662141)×0.000176155045688131×R²
    0.000383490000000042×0.000176155045688131×6371000²
    0.000383490000000042×0.000176155045688131×40589641000000     		ar = 4163610.15263467m²