Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9148 / 9492
↖ ↑ ↗
← S 27.449790°
E 21.005859°		 ← 2 168.15 m → S 27.449790°
E 21.027832°		 →
↑
2 167.99 m
↓
↑
2 167.99 m
↓
S 27.469287°
E 21.005859°		 ← 2 167.76 m →
4 700 098 m²		 S 27.469287°
E 21.027832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558380126953125 y=0.579376220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558380126953125 × 214)
    floor (0.558380126953125 × 16384)
    floor (9148.5)     		tx = 9148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579376220703125 × 214)
    floor (0.579376220703125 × 16384)
    floor (9492.5)     		ty = 9492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9148 / 9492 ti = "14/9148/9492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9148/9492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9148 ÷ 214
    9148 ÷ 16384     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9492 ÷ 214
    9492 ÷ 16384     		y = 0.579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579345703125 × 2 - 1) × π
    -0.15869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.498543756048584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498543756048584))-π/2
    2×atan(0.607414559748025)-π/2
    2×0.545853553285354-π/2
    1.09170710657071-1.57079632675     		φ = -0.47908922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47908922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.449790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9148 KachelY 9492 0.36662141 -0.47908922 21.005859 -27.449790
    Oben rechts KachelX + 1 9149 KachelY 9492 0.36700490 -0.47908922 21.027832 -27.449790
    Unten links KachelX 9148 KachelY + 1 9493 0.36662141 -0.47942951 21.005859 -27.469287
    Unten rechts KachelX + 1 9149 KachelY + 1 9493 0.36700490 -0.47942951 21.027832 -27.469287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47908922--0.47942951) × R
    0.000340290000000021 × 6371000     		dl = 2167.98759000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47908922--0.47942951) × R
    0.000340290000000021 × 6371000     		dr = 2167.98759000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36700490) × cos(-0.47908922) × R
    0.000383490000000042 × 0.887415134068556 × 6371000     		do = 2168.14578042637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36700490) × cos(-0.47942951) × R
    0.000383490000000042 × 0.887258218826684 × 6371000     		du = 2167.76240278665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47908922)-sin(-0.47942951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887415134068556-0.887258218826684)×R²
    abs(0.36700490-0.36662141)×0.000156915241872668×R²
    0.000383490000000042×0.000156915241872668×6371000²
    0.000383490000000042×0.000156915241872668×40589641000000     		ar = 4700097.61164794m²