Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9146 / 9810
↖ ↑ ↗
← S 33.468108°
E 20.961914°		 ← 2 038.11 m → S 33.468108°
E 20.983887°		 →
↑
2 037.89 m
↓
↑
2 037.89 m
↓
S 33.486435°
E 20.961914°		 ← 2 037.68 m →
4 153 013 m²		 S 33.486435°
E 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558258056640625 y=0.598785400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558258056640625 × 214)
    floor (0.558258056640625 × 16384)
    floor (9146.5)     		tx = 9146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598785400390625 × 214)
    floor (0.598785400390625 × 16384)
    floor (9810.5)     		ty = 9810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9146 / 9810 ti = "14/9146/9810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9146/9810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9146 ÷ 214
    9146 ÷ 16384     		x = 0.5582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9810 ÷ 214
    9810 ÷ 16384     		y = 0.5987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5582275390625 × 2 - 1) × π
    0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5987548828125 × 2 - 1) × π
    -0.197509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.620495228682007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36585442} λ = 0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620495228682007))-π/2
    2×atan(0.537678098034789)-π/2
    2×0.493333824288583-π/2
    0.986667648577166-1.57079632675     		φ = -0.58412868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58412868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.468108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9146 KachelY 9810 0.36585442 -0.58412868 20.961914 -33.468108
    Oben rechts KachelX + 1 9147 KachelY 9810 0.36623791 -0.58412868 20.983887 -33.468108
    Unten links KachelX 9146 KachelY + 1 9811 0.36585442 -0.58444855 20.961914 -33.486435
    Unten rechts KachelX + 1 9147 KachelY + 1 9811 0.36623791 -0.58444855 20.983887 -33.486435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58412868--0.58444855) × R
    0.00031987 × 6371000     		dl = 2037.89177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58412868--0.58444855) × R
    0.00031987 × 6371000     		dr = 2037.89177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36585442-0.36623791) × cos(-0.58412868) × R
    0.000383489999999986 × 0.834192911715489 × 6371000     		do = 2038.11245961637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36585442-0.36623791) × cos(-0.58444855) × R
    0.000383489999999986 × 0.834016469456278 × 6371000     		du = 2037.68137327909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58412868)-sin(-0.58444855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834192911715489-0.834016469456278)×R²
    abs(0.36623791-0.36585442)×0.00017644225921043×R²
    0.000383489999999986×0.00017644225921043×6371000²
    0.000383489999999986×0.00017644225921043×40589641000000     		ar = 4153013.38954754m²