Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9145 / 9803
↖ ↑ ↗
← S 33.339707°
E 20.939941°		 ← 2 041.18 m → S 33.339707°
E 20.961914°		 →
↑
2 040.95 m
↓
↑
2 040.95 m
↓
S 33.358062°
E 20.939941°		 ← 2 040.75 m →
4 165 507 m²		 S 33.358062°
E 20.961914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558197021484375 y=0.598358154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558197021484375 × 214)
    floor (0.558197021484375 × 16384)
    floor (9145.5)     		tx = 9145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598358154296875 × 214)
    floor (0.598358154296875 × 16384)
    floor (9803.5)     		ty = 9803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9145 / 9803 ti = "14/9145/9803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9145/9803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9145 ÷ 214
    9145 ÷ 16384     		x = 0.55816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9803 ÷ 214
    9803 ÷ 16384     		y = 0.59832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55816650390625 × 2 - 1) × π
    0.1163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36547092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.617810762303284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36547092} λ = 0.36547092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617810762303284))-π/2
    2×atan(0.539123415897187)-π/2
    2×0.494454333967721-π/2
    0.988908667935441-1.57079632675     		φ = -0.58188766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36547092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58188766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.339707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9145 KachelY 9803 0.36547092 -0.58188766 20.939941 -33.339707
    Oben rechts KachelX + 1 9146 KachelY 9803 0.36585442 -0.58188766 20.961914 -33.339707
    Unten links KachelX 9145 KachelY + 1 9804 0.36547092 -0.58220801 20.939941 -33.358062
    Unten rechts KachelX + 1 9146 KachelY + 1 9804 0.36585442 -0.58220801 20.961914 -33.358062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58188766--0.58220801) × R
    0.000320349999999969 × 6371000     		dl = 2040.9498499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58188766--0.58220801) × R
    0.000320349999999969 × 6371000     		dr = 2040.9498499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36547092-0.36585442) × cos(-0.58188766) × R
    0.000383500000000037 × 0.835426677398394 × 6371000     		do = 2041.18003921413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36547092-0.36585442) × cos(-0.58220801) × R
    0.000383500000000037 × 0.835250569559969 × 6371000     		du = 2040.74975871882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58188766)-sin(-0.58220801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835426677398394-0.835250569559969)×R²
    abs(0.36585442-0.36547092)×0.000176107838424366×R²
    0.000383500000000037×0.000176107838424366×6371000²
    0.000383500000000037×0.000176107838424366×40589641000000     		ar = 4165507.04002406m²