Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9144 / 7240
↖ ↑ ↗
← N 70.348317°
W 79.541015°		 ← 410.82 m → N 70.348317°
W 79.530030°		 →
↑
410.87 m
↓
↑
410.87 m
↓
N 70.344622°
W 79.541015°		 ← 410.89 m →
168 806 m²		 N 70.344622°
W 79.530030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279067993164062 y=0.220962524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279067993164062 × 215)
    floor (0.279067993164062 × 32768)
    floor (9144.5)     		tx = 9144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220962524414062 × 215)
    floor (0.220962524414062 × 32768)
    floor (7240.5)     		ty = 7240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9144 / 7240 ti = "15/9144/7240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9144/7240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9144 ÷ 215
    9144 ÷ 32768     		x = 0.279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7240 ÷ 215
    7240 ÷ 32768     		y = 0.220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.44189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38825261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    0.55810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75334004050317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38825261} λ = -1.38825261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75334004050317))-π/2
    2×atan(5.77385541659152)-π/2
    2×1.39930304571797-π/2
    2.79860609143593-1.57079632675     		φ = 1.22780976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38825261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.541015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22780976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.348317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9144 KachelY 7240 -1.38825261 1.22780976 -79.541015 70.348317
    Oben rechts KachelX + 1 9145 KachelY 7240 -1.38806087 1.22780976 -79.530030 70.348317
    Unten links KachelX 9144 KachelY + 1 7241 -1.38825261 1.22774527 -79.541015 70.344622
    Unten rechts KachelX + 1 9145 KachelY + 1 7241 -1.38806087 1.22774527 -79.530030 70.344622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22780976-1.22774527) × R
    6.44899999999726e-05 × 6371000     		dl = 410.865789999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22780976-1.22774527) × R
    6.44899999999726e-05 × 6371000     		dr = 410.865789999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38825261--1.38806087) × cos(1.22780976) × R
    0.000191740000000218 × 0.336301200453459 × 6371000     		do = 410.817320547049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38825261--1.38806087) × cos(1.22774527) × R
    0.000191740000000218 × 0.336361933500568 × 6371000     		du = 410.891510551867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22780976)-sin(1.22774527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336301200453459-0.336361933500568)×R²
    abs(-1.38806087--1.38825261)×6.07330471090184e-05×R²
    0.000191740000000218×6.07330471090184e-05×6371000²
    0.000191740000000218×6.07330471090184e-05×40589641000000     		ar = 168806.024078234m²