Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9144 / 26281
↖ ↑ ↗
← S 72.948653°
W 79.541015°		 ← 358.20 m → S 72.948653°
W 79.530030°		 →
↑
358.18 m
↓
↑
358.18 m
↓
S 72.951874°
W 79.541015°		 ← 358.14 m →
128 288 m²		 S 72.951874°
W 79.530030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279067993164062 y=0.802047729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279067993164062 × 215)
    floor (0.279067993164062 × 32768)
    floor (9144.5)     		tx = 9144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802047729492188 × 215)
    floor (0.802047729492188 × 32768)
    floor (26281.5)     		ty = 26281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9144 / 26281 ti = "15/9144/26281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9144/26281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9144 ÷ 215
    9144 ÷ 32768     		x = 0.279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26281 ÷ 215
    26281 ÷ 32768     		y = 0.802032470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.44189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38825261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802032470703125 × 2 - 1) × π
    -0.60406494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89772598215878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38825261} λ = -1.38825261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89772598215878))-π/2
    2×atan(0.149909127945954)-π/2
    2×0.148801074000475-π/2
    0.297602148000949-1.57079632675     		φ = -1.27319418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38825261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.541015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27319418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.948653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9144 KachelY 26281 -1.38825261 -1.27319418 -79.541015 -72.948653
    Oben rechts KachelX + 1 9145 KachelY 26281 -1.38806087 -1.27319418 -79.530030 -72.948653
    Unten links KachelX 9144 KachelY + 1 26282 -1.38825261 -1.27325040 -79.541015 -72.951874
    Unten rechts KachelX + 1 9145 KachelY + 1 26282 -1.38806087 -1.27325040 -79.530030 -72.951874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27319418--1.27325040) × R
    5.62200000000512e-05 × 6371000     		dl = 358.177620000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27319418--1.27325040) × R
    5.62200000000512e-05 × 6371000     		dr = 358.177620000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38825261--1.38806087) × cos(-1.27319418) × R
    0.000191740000000218 × 0.293228602618273 × 6371000     		do = 358.200888587269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38825261--1.38806087) × cos(-1.27325040) × R
    0.000191740000000218 × 0.293174853453641 × 6371000     		du = 358.135229922459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27319418)-sin(-1.27325040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293228602618273-0.293174853453641)×R²
    abs(-1.38806087--1.38825261)×5.37491646322996e-05×R²
    0.000191740000000218×5.37491646322996e-05×6371000²
    0.000191740000000218×5.37491646322996e-05×40589641000000     		ar = 128287.78305744m²