Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9144 / 26264
↖ ↑ ↗
← S 72.893802°
W 79.541015°		 ← 359.32 m → S 72.893802°
W 79.530030°		 →
↑
359.26 m
↓
↑
359.26 m
↓
S 72.897033°
W 79.541015°		 ← 359.25 m →
129 077 m²		 S 72.897033°
W 79.530030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279067993164062 y=0.801528930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279067993164062 × 215)
    floor (0.279067993164062 × 32768)
    floor (9144.5)     		tx = 9144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801528930664062 × 215)
    floor (0.801528930664062 × 32768)
    floor (26264.5)     		ty = 26264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9144 / 26264 ti = "15/9144/26264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9144/26264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9144 ÷ 215
    9144 ÷ 32768     		x = 0.279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26264 ÷ 215
    26264 ÷ 32768     		y = 0.801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.44189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38825261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.60302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89446627298462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38825261} λ = -1.38825261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89446627298462))-π/2
    2×atan(0.150398585416712)-π/2
    2×0.149279739386248-π/2
    0.298559478772496-1.57079632675     		φ = -1.27223685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38825261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.541015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27223685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.893802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9144 KachelY 26264 -1.38825261 -1.27223685 -79.541015 -72.893802
    Oben rechts KachelX + 1 9145 KachelY 26264 -1.38806087 -1.27223685 -79.530030 -72.893802
    Unten links KachelX 9144 KachelY + 1 26265 -1.38825261 -1.27229324 -79.541015 -72.897033
    Unten rechts KachelX + 1 9145 KachelY + 1 26265 -1.38806087 -1.27229324 -79.530030 -72.897033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27223685--1.27229324) × R
    5.63899999999062e-05 × 6371000     		dl = 359.260689999403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27223685--1.27229324) × R
    5.63899999999062e-05 × 6371000     		dr = 359.260689999403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38825261--1.38806087) × cos(-1.27223685) × R
    0.000191740000000218 × 0.29414371613804 × 6371000     		do = 359.318768879341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38825261--1.38806087) × cos(-1.27229324) × R
    0.000191740000000218 × 0.294089820296253 × 6371000     		du = 359.252931037307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27223685)-sin(-1.27229324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29414371613804-0.294089820296253)×R²
    abs(-1.38806087--1.38825261)×5.38958417866664e-05×R²
    0.000191740000000218×5.38958417866664e-05×6371000²
    0.000191740000000218×5.38958417866664e-05×40589641000000     		ar = 129077.28239747m²