Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9143 / 25667
↖ ↑ ↗
← S 70.855485°
W 79.552002°		 ← 400.64 m → S 70.855485°
W 79.541015°		 →
↑
400.61 m
↓
↑
400.61 m
↓
S 70.859087°
W 79.552002°		 ← 400.57 m →
160 485 m²		 S 70.859087°
W 79.541015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279037475585938 y=0.783309936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279037475585938 × 215)
    floor (0.279037475585938 × 32768)
    floor (9143.5)     		tx = 9143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783309936523438 × 215)
    floor (0.783309936523438 × 32768)
    floor (25667.5)     		ty = 25667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9143 / 25667 ti = "15/9143/25667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9143/25667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9143 ÷ 215
    9143 ÷ 32768     		x = 0.279022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25667 ÷ 215
    25667 ÷ 32768     		y = 0.783294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.44195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38844436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.56658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77999295669193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38844436} λ = -1.38844436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77999295669193))-π/2
    2×atan(0.168639335043203)-π/2
    2×0.167067414285336-π/2
    0.334134828570672-1.57079632675     		φ = -1.23666150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38844436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.552002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23666150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.855485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9143 KachelY 25667 -1.38844436 -1.23666150 -79.552002 -70.855485
    Oben rechts KachelX + 1 9144 KachelY 25667 -1.38825261 -1.23666150 -79.541015 -70.855485
    Unten links KachelX 9143 KachelY + 1 25668 -1.38844436 -1.23672438 -79.552002 -70.859087
    Unten rechts KachelX + 1 9144 KachelY + 1 25668 -1.38825261 -1.23672438 -79.541015 -70.859087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23666150--1.23672438) × R
    6.28799999999874e-05 × 6371000     		dl = 400.60847999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23666150--1.23672438) × R
    6.28799999999874e-05 × 6371000     		dr = 400.60847999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38844436--1.38825261) × cos(-1.23666150) × R
    0.000191749999999935 × 0.327951968435409 × 6371000     		do = 400.638996755321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38844436--1.38825261) × cos(-1.23672438) × R
    0.000191749999999935 × 0.327892565403332 × 6371000     		du = 400.566427679767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23666150)-sin(-1.23672438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327951968435409-0.327892565403332)×R²
    abs(-1.38825261--1.38844436)×5.94030320770211e-05×R²
    0.000191749999999935×5.94030320770211e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.94030320770211e-05×40589641000000     		ar = 160484.84367772m²