Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9141 / 9809
↖ ↑ ↗
← S 33.449777°
E 20.852051°		 ← 2 038.60 m → S 33.449777°
E 20.874024°		 →
↑
2 038.34 m
↓
↑
2 038.34 m
↓
S 33.468108°
E 20.852051°		 ← 2 038.17 m →
4 154 909 m²		 S 33.468108°
E 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557952880859375 y=0.598724365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557952880859375 × 214)
    floor (0.557952880859375 × 16384)
    floor (9141.5)     		tx = 9141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598724365234375 × 214)
    floor (0.598724365234375 × 16384)
    floor (9809.5)     		ty = 9809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9141 / 9809 ti = "14/9141/9809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9141/9809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9141 ÷ 214
    9141 ÷ 16384     		x = 0.55792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9809 ÷ 214
    9809 ÷ 16384     		y = 0.59869384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55792236328125 × 2 - 1) × π
    0.1158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36393694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59869384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1973876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.620111733485046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36393694} λ = 0.36393694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620111733485046))-π/2
    2×atan(0.537884334545725)-π/2
    2×0.493493795688885-π/2
    0.98698759137777-1.57079632675     		φ = -0.58380874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36393694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.852051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58380874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.449777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9141 KachelY 9809 0.36393694 -0.58380874 20.852051 -33.449777
    Oben rechts KachelX + 1 9142 KachelY 9809 0.36432044 -0.58380874 20.874024 -33.449777
    Unten links KachelX 9141 KachelY + 1 9810 0.36393694 -0.58412868 20.852051 -33.468108
    Unten rechts KachelX + 1 9142 KachelY + 1 9810 0.36432044 -0.58412868 20.874024 -33.468108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58380874--0.58412868) × R
    0.000319939999999908 × 6371000     		dl = 2038.33773999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58380874--0.58412868) × R
    0.000319939999999908 × 6371000     		dr = 2038.33773999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36393694-0.36432044) × cos(-0.58380874) × R
    0.000383500000000037 × 0.834369307207146 × 6371000     		do = 2038.59658935931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36393694-0.36432044) × cos(-0.58412868) × R
    0.000383500000000037 × 0.834192911715489 × 6371000     		du = 2038.16560604705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58380874)-sin(-0.58412868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834369307207146-0.834192911715489)×R²
    abs(0.36432044-0.36393694)×0.000176395491657377×R²
    0.000383500000000037×0.000176395491657377×6371000²
    0.000383500000000037×0.000176395491657377×40589641000000     		ar = 4154909.15539132m²