Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9141 / 25669
↖ ↑ ↗
← S 70.862689°
W 79.573975°		 ← 400.49 m → S 70.862689°
W 79.562988°		 →
↑
400.48 m
↓
↑
400.48 m
↓
S 70.866291°
W 79.573975°		 ← 400.42 m →
160 376 m²		 S 70.866291°
W 79.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278976440429688 y=0.783370971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278976440429688 × 215)
    floor (0.278976440429688 × 32768)
    floor (9141.5)     		tx = 9141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783370971679688 × 215)
    floor (0.783370971679688 × 32768)
    floor (25669.5)     		ty = 25669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9141 / 25669 ti = "15/9141/25669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9141/25669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9141 ÷ 215
    9141 ÷ 32768     		x = 0.278961181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25669 ÷ 215
    25669 ÷ 32768     		y = 0.783355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.44207763671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38882786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783355712890625 × 2 - 1) × π
    -0.56671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78037645188889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38882786} λ = -1.38882786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78037645188889))-π/2
    2×atan(0.168574675067383)-π/2
    2×0.16700454167243-π/2
    0.334009083344859-1.57079632675     		φ = -1.23678724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38882786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.573975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23678724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.862689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9141 KachelY 25669 -1.38882786 -1.23678724 -79.573975 -70.862689
    Oben rechts KachelX + 1 9142 KachelY 25669 -1.38863611 -1.23678724 -79.562988 -70.862689
    Unten links KachelX 9141 KachelY + 1 25670 -1.38882786 -1.23685010 -79.573975 -70.866291
    Unten rechts KachelX + 1 9142 KachelY + 1 25670 -1.38863611 -1.23685010 -79.562988 -70.866291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23678724--1.23685010) × R
    6.28600000001089e-05 × 6371000     		dl = 400.481060000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23678724--1.23685010) × R
    6.28600000001089e-05 × 6371000     		dr = 400.481060000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38882786--1.38863611) × cos(-1.23678724) × R
    0.000191749999999935 × 0.327833179969515 × 6371000     		do = 400.493880102938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38882786--1.38863611) × cos(-1.23685010) × R
    0.000191749999999935 × 0.327773793240305 × 6371000     		du = 400.421330943605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23678724)-sin(-1.23685010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327833179969515-0.327773793240305)×R²
    abs(-1.38863611--1.38882786)×5.93867292104089e-05×R²
    0.000191749999999935×5.93867292104089e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.93867292104089e-05×40589641000000     		ar = 160375.686397846m²