Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9141 / 11277
↖ ↑ ↗
← N 75.479263°
W129.786987°		 ← 153.14 m → N 75.479263°
W129.781494°		 →
↑
153.16 m
↓
↑
153.16 m
↓
N 75.477886°
W129.786987°		 ← 153.16 m →
23 456 m²		 N 75.477886°
W129.781494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139488220214844 y=0.172080993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139488220214844 × 216)
    floor (0.139488220214844 × 65536)
    floor (9141.5)     		tx = 9141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172080993652344 × 216)
    floor (0.172080993652344 × 65536)
    floor (11277.5)     		ty = 11277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9141 / 11277 ti = "16/9141/11277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9141/11277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9141 ÷ 216
    9141 ÷ 65536     		x = 0.139480590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11277 ÷ 216
    11277 ÷ 65536     		y = 0.172073364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139480590820312 × 2 - 1) × π
    -0.721038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26521025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172073364257812 × 2 - 1) × π
    0.655853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06042381946925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26521025} λ = -2.26521025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06042381946925))-π/2
    2×atan(7.84929578983689)-π/2
    2×1.4440789930869-π/2
    2.8881579861738-1.57079632675     		φ = 1.31736166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26521025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.786987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31736166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.479263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9141 KachelY 11277 -2.26521025 1.31736166 -129.786987 75.479263
    Oben rechts KachelX + 1 9142 KachelY 11277 -2.26511438 1.31736166 -129.781494 75.479263
    Unten links KachelX 9141 KachelY + 1 11278 -2.26521025 1.31733762 -129.786987 75.477886
    Unten rechts KachelX + 1 9142 KachelY + 1 11278 -2.26511438 1.31733762 -129.781494 75.477886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31736166-1.31733762) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dl = 153.158840000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31736166-1.31733762) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dr = 153.158840000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26521025--2.26511438) × cos(1.31736166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250730384730485 × 6371000     		do = 153.143052560771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26521025--2.26511438) × cos(1.31733762) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250753656747304 × 6371000     		du = 153.157266824028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31736166)-sin(1.31733762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250730384730485-0.250753656747304)×R²
    abs(-2.26511438--2.26521025)×2.32720168198419e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32720168198419e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32720168198419e-05×40589641000000     		ar = 23456.300805317m²