Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9139 / 9811
↖ ↑ ↗
← S 33.486435°
E 20.808105°		 ← 2 037.73 m → S 33.486435°
E 20.830078°		 →
↑
2 037.51 m
↓
↑
2 037.51 m
↓
S 33.504759°
E 20.808105°		 ← 2 037.30 m →
4 151 464 m²		 S 33.504759°
E 20.830078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557830810546875 y=0.598846435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557830810546875 × 214)
    floor (0.557830810546875 × 16384)
    floor (9139.5)     		tx = 9139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598846435546875 × 214)
    floor (0.598846435546875 × 16384)
    floor (9811.5)     		ty = 9811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9139 / 9811 ti = "14/9139/9811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9139/9811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9139 ÷ 214
    9139 ÷ 16384     		x = 0.55780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9811 ÷ 214
    9811 ÷ 16384     		y = 0.59881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55780029296875 × 2 - 1) × π
    0.1156005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36316995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59881591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.620878723878967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36316995} λ = 0.36316995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620878723878967))-π/2
    2×atan(0.537471940599402)-π/2
    2×0.493173886716598-π/2
    0.986347773433197-1.57079632675     		φ = -0.58444855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36316995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.808105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58444855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.486435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9139 KachelY 9811 0.36316995 -0.58444855 20.808105 -33.486435
    Oben rechts KachelX + 1 9140 KachelY 9811 0.36355345 -0.58444855 20.830078 -33.486435
    Unten links KachelX 9139 KachelY + 1 9812 0.36316995 -0.58476836 20.808105 -33.504759
    Unten rechts KachelX + 1 9140 KachelY + 1 9812 0.36355345 -0.58476836 20.830078 -33.504759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58444855--0.58476836) × R
    0.000319810000000031 × 6371000     		dl = 2037.5095100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58444855--0.58476836) × R
    0.000319810000000031 × 6371000     		dr = 2037.5095100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36316995-0.36355345) × cos(-0.58444855) × R
    0.000383499999999981 × 0.834016469456278 × 6371000     		do = 2037.73450846833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36316995-0.36355345) × cos(-0.58476836) × R
    0.000383499999999981 × 0.833839974983535 × 6371000     		du = 2037.30328331771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58444855)-sin(-0.58476836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834016469456278-0.833839974983535)×R²
    abs(0.36355345-0.36316995)×0.000176494472743816×R²
    0.000383499999999981×0.000176494472743816×6371000²
    0.000383499999999981×0.000176494472743816×40589641000000     		ar = 4151464.16257136m²