Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9139 / 25668
↖ ↑ ↗
← S 70.859087°
W 79.595947°		 ← 400.57 m → S 70.859087°
W 79.584961°		 →
↑
400.48 m
↓
↑
400.48 m
↓
S 70.862689°
W 79.595947°		 ← 400.49 m →
160 405 m²		 S 70.862689°
W 79.584961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278915405273438 y=0.783340454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278915405273438 × 215)
    floor (0.278915405273438 × 32768)
    floor (9139.5)     		tx = 9139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783340454101562 × 215)
    floor (0.783340454101562 × 32768)
    floor (25668.5)     		ty = 25668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9139 / 25668 ti = "15/9139/25668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9139/25668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9139 ÷ 215
    9139 ÷ 32768     		x = 0.278900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25668 ÷ 215
    25668 ÷ 32768     		y = 0.7833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.44219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38921135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.566650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78018470429041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38921135} λ = -1.38921135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78018470429041))-π/2
    2×atan(0.168607001955694)-π/2
    2×0.167035975131589-π/2
    0.334071950263178-1.57079632675     		φ = -1.23672438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38921135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.595947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23672438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.859087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9139 KachelY 25668 -1.38921135 -1.23672438 -79.595947 -70.859087
    Oben rechts KachelX + 1 9140 KachelY 25668 -1.38901960 -1.23672438 -79.584961 -70.859087
    Unten links KachelX 9139 KachelY + 1 25669 -1.38921135 -1.23678724 -79.595947 -70.862689
    Unten rechts KachelX + 1 9140 KachelY + 1 25669 -1.38901960 -1.23678724 -79.584961 -70.862689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23672438--1.23678724) × R
    6.28599999998869e-05 × 6371000     		dl = 400.481059999279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23672438--1.23678724) × R
    6.28599999998869e-05 × 6371000     		dr = 400.481059999279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38921135--1.38901960) × cos(-1.23672438) × R
    0.000191750000000157 × 0.327892565403332 × 6371000     		do = 400.566427680231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38921135--1.38901960) × cos(-1.23678724) × R
    0.000191750000000157 × 0.327833179969515 × 6371000     		du = 400.493880103402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23672438)-sin(-1.23678724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327892565403332-0.327833179969515)×R²
    abs(-1.38901960--1.38921135)×5.93854338168387e-05×R²
    0.000191750000000157×5.93854338168387e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.93854338168387e-05×40589641000000     		ar = 160404.740645694m²