Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9138 / 25753
↖ ↑ ↗
← S 71.162939°
W 79.606934°		 ← 394.44 m → S 71.162939°
W 79.595947°		 →
↑
394.43 m
↓
↑
394.43 m
↓
S 71.166486°
W 79.606934°		 ← 394.37 m →
155 564 m²		 S 71.166486°
W 79.595947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278884887695312 y=0.785934448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278884887695312 × 215)
    floor (0.278884887695312 × 32768)
    floor (9138.5)     		tx = 9138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785934448242188 × 215)
    floor (0.785934448242188 × 32768)
    floor (25753.5)     		ty = 25753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9138 / 25753 ti = "15/9138/25753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9138/25753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9138 ÷ 215
    9138 ÷ 32768     		x = 0.27886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25753 ÷ 215
    25753 ÷ 32768     		y = 0.785919189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.4422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38940310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.57183837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79648325016122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38940310} λ = -1.38940310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79648325016122))-π/2
    2×atan(0.165881226428814)-π/2
    2×0.164384368091045-π/2
    0.328768736182091-1.57079632675     		φ = -1.24202759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38940310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24202759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.162939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9138 KachelY 25753 -1.38940310 -1.24202759 -79.606934 -71.162939
    Oben rechts KachelX + 1 9139 KachelY 25753 -1.38921135 -1.24202759 -79.595947 -71.162939
    Unten links KachelX 9138 KachelY + 1 25754 -1.38940310 -1.24208950 -79.606934 -71.166486
    Unten rechts KachelX + 1 9139 KachelY + 1 25754 -1.38921135 -1.24208950 -79.595947 -71.166486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24202759--1.24208950) × R
    6.19100000001094e-05 × 6371000     		dl = 394.428610000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24202759--1.24208950) × R
    6.19100000001094e-05 × 6371000     		dr = 394.428610000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38940310--1.38921135) × cos(-1.24202759) × R
    0.000191749999999935 × 0.322877955935071 × 6371000     		do = 394.44038392992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38940310--1.38921135) × cos(-1.24208950) × R
    0.000191749999999935 × 0.32281936117826 × 6371000     		du = 394.368802275155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24202759)-sin(-1.24208950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322877955935071-0.32281936117826)×R²
    abs(-1.38921135--1.38940310)×5.85947568109701e-05×R²
    0.000191749999999935×5.85947568109701e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.85947568109701e-05×40589641000000     		ar = 155564.455484711m²