Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9138 / 25746
↖ ↑ ↗
← S 71.138093°
W 79.606934°		 ← 394.94 m → S 71.138093°
W 79.595947°		 →
↑
394.87 m
↓
↑
394.87 m
↓
S 71.141644°
W 79.606934°		 ← 394.87 m →
155 938 m²		 S 71.141644°
W 79.595947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278884887695312 y=0.785720825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278884887695312 × 215)
    floor (0.278884887695312 × 32768)
    floor (9138.5)     		tx = 9138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785720825195312 × 215)
    floor (0.785720825195312 × 32768)
    floor (25746.5)     		ty = 25746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9138 / 25746 ti = "15/9138/25746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9138/25746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9138 ÷ 215
    9138 ÷ 32768     		x = 0.27886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25746 ÷ 215
    25746 ÷ 32768     		y = 0.78570556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.4422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38940310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.5714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79514101697186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38940310} λ = -1.38940310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79514101697186))-π/2
    2×atan(0.16610402720827)-π/2
    2×0.164601194531075-π/2
    0.329202389062151-1.57079632675     		φ = -1.24159394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38940310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24159394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.138093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9138 KachelY 25746 -1.38940310 -1.24159394 -79.606934 -71.138093
    Oben rechts KachelX + 1 9139 KachelY 25746 -1.38921135 -1.24159394 -79.595947 -71.138093
    Unten links KachelX 9138 KachelY + 1 25747 -1.38940310 -1.24165592 -79.606934 -71.141644
    Unten rechts KachelX + 1 9139 KachelY + 1 25747 -1.38921135 -1.24165592 -79.595947 -71.141644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24159394--1.24165592) × R
    6.1979999999906e-05 × 6371000     		dl = 394.874579999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24159394--1.24165592) × R
    6.1979999999906e-05 × 6371000     		dr = 394.874579999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38940310--1.38921135) × cos(-1.24159394) × R
    0.000191749999999935 × 0.323288349533144 × 6371000     		do = 394.941736857275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38940310--1.38921135) × cos(-1.24165592) × R
    0.000191749999999935 × 0.323229697207011 × 6371000     		du = 394.870084873567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24159394)-sin(-1.24165592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323288349533144-0.323229697207011)×R²
    abs(-1.38921135--1.38940310)×5.86523261330019e-05×R²
    0.000191749999999935×5.86523261330019e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.86523261330019e-05×40589641000000     		ar = 155938.305742339m²