Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9138 / 25658
↖ ↑ ↗
← S 70.823031°
W 79.606934°		 ← 401.29 m → S 70.823031°
W 79.595947°		 →
↑
401.25 m
↓
↑
401.25 m
↓
S 70.826640°
W 79.606934°		 ← 401.22 m →
161 002 m²		 S 70.826640°
W 79.595947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278884887695312 y=0.783035278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278884887695312 × 215)
    floor (0.278884887695312 × 32768)
    floor (9138.5)     		tx = 9138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783035278320312 × 215)
    floor (0.783035278320312 × 32768)
    floor (25658.5)     		ty = 25658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9138 / 25658 ti = "15/9138/25658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9138/25658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9138 ÷ 215
    9138 ÷ 32768     		x = 0.27886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25658 ÷ 215
    25658 ÷ 32768     		y = 0.78302001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.4422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38940310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78302001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5660400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7782672283056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38940310} λ = -1.38940310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7782672283056))-π/2
    2×atan(0.168930611990897)-π/2
    2×0.167350623075225-π/2
    0.33470124615045-1.57079632675     		φ = -1.23609508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38940310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23609508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.823031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9138 KachelY 25658 -1.38940310 -1.23609508 -79.606934 -70.823031
    Oben rechts KachelX + 1 9139 KachelY 25658 -1.38921135 -1.23609508 -79.595947 -70.823031
    Unten links KachelX 9138 KachelY + 1 25659 -1.38940310 -1.23615806 -79.606934 -70.826640
    Unten rechts KachelX + 1 9139 KachelY + 1 25659 -1.38921135 -1.23615806 -79.595947 -70.826640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23609508--1.23615806) × R
    6.29800000000458e-05 × 6371000     		dl = 401.245580000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23609508--1.23615806) × R
    6.29800000000458e-05 × 6371000     		dr = 401.245580000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38940310--1.38921135) × cos(-1.23609508) × R
    0.000191749999999935 × 0.328487009599269 × 6371000     		do = 401.292624041458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38940310--1.38921135) × cos(-1.23615806) × R
    0.000191749999999935 × 0.328427523803245 × 6371000     		du = 401.219953858217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23609508)-sin(-1.23615806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328487009599269-0.328427523803245)×R²
    abs(-1.38921135--1.38940310)×5.94857960242723e-05×R²
    0.000191749999999935×5.94857960242723e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.94857960242723e-05×40589641000000     		ar = 161002.312441614m²