Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9138 / 25647
↖ ↑ ↗
← S 70.783294°
W 79.606934°		 ← 402.09 m → S 70.783294°
W 79.595947°		 →
↑
402.01 m
↓
↑
402.01 m
↓
S 70.786910°
W 79.606934°		 ← 402.02 m →
161 631 m²		 S 70.786910°
W 79.595947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278884887695312 y=0.782699584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278884887695312 × 215)
    floor (0.278884887695312 × 32768)
    floor (9138.5)     		tx = 9138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782699584960938 × 215)
    floor (0.782699584960938 × 32768)
    floor (25647.5)     		ty = 25647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9138 / 25647 ti = "15/9138/25647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9138/25647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9138 ÷ 215
    9138 ÷ 32768     		x = 0.27886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25647 ÷ 215
    25647 ÷ 32768     		y = 0.782684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.4422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38940310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.56536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77615800472232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38940310} λ = -1.38940310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77615800472232))-π/2
    2×atan(0.169287300457272)-π/2
    2×0.167697394621458-π/2
    0.335394789242915-1.57079632675     		φ = -1.23540154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38940310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23540154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.783294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9138 KachelY 25647 -1.38940310 -1.23540154 -79.606934 -70.783294
    Oben rechts KachelX + 1 9139 KachelY 25647 -1.38921135 -1.23540154 -79.595947 -70.783294
    Unten links KachelX 9138 KachelY + 1 25648 -1.38940310 -1.23546464 -79.606934 -70.786910
    Unten rechts KachelX + 1 9139 KachelY + 1 25648 -1.38921135 -1.23546464 -79.595947 -70.786910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23540154--1.23546464) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dl = 402.010099999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23540154--1.23546464) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dr = 402.010099999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38940310--1.38921135) × cos(-1.23540154) × R
    0.000191749999999935 × 0.329141984963001 × 6371000     		do = 402.092767653575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38940310--1.38921135) × cos(-1.23546464) × R
    0.000191749999999935 × 0.329082400211873 × 6371000     		du = 402.019976582896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23540154)-sin(-1.23546464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329141984963001-0.329082400211873)×R²
    abs(-1.38921135--1.38940310)×5.95847511278835e-05×R²
    0.000191749999999935×5.95847511278835e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.95847511278835e-05×40589641000000     		ar = 161630.722414495m²