Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9137 / 7118
↖ ↑ ↗
← N 70.794139°
W 79.617920°		 ← 401.87 m → N 70.794139°
W 79.606934°		 →
↑
401.88 m
↓
↑
401.88 m
↓
N 70.790525°
W 79.617920°		 ← 401.95 m →
161 521 m²		 N 70.790525°
W 79.606934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278854370117188 y=0.217239379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278854370117188 × 215)
    floor (0.278854370117188 × 32768)
    floor (9137.5)     		tx = 9137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217239379882812 × 215)
    floor (0.217239379882812 × 32768)
    floor (7118.5)     		ty = 7118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9137 / 7118 ti = "15/9137/7118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9137/7118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9137 ÷ 215
    9137 ÷ 32768     		x = 0.278839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7118 ÷ 215
    7118 ÷ 32768     		y = 0.21722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.44232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38959485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21722412109375 × 2 - 1) × π
    0.5655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77673324751776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38959485} λ = -1.38959485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77673324751776))-π/2
    2×atan(5.91051665173106)-π/2
    2×1.4031935747445-π/2
    2.806387149489-1.57079632675     		φ = 1.23559082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38959485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.617920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23559082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.794139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9137 KachelY 7118 -1.38959485 1.23559082 -79.617920 70.794139
    Oben rechts KachelX + 1 9138 KachelY 7118 -1.38940310 1.23559082 -79.606934 70.794139
    Unten links KachelX 9137 KachelY + 1 7119 -1.38959485 1.23552774 -79.617920 70.790525
    Unten rechts KachelX + 1 9138 KachelY + 1 7119 -1.38940310 1.23552774 -79.606934 70.790525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23559082-1.23552774) × R
    6.30800000001042e-05 × 6371000     		dl = 401.882680000664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23559082-1.23552774) × R
    6.30800000001042e-05 × 6371000     		dr = 401.882680000664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38959485--1.38940310) × cos(1.23559082) × R
    0.000191749999999935 × 0.328963245665876 × 6371000     		do = 401.87441271269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38959485--1.38940310) × cos(1.23552774) × R
    0.000191749999999935 × 0.329022814150467 × 6371000     		du = 401.94718391153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23559082)-sin(1.23552774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328963245665876-0.329022814150467)×R²
    abs(-1.38940310--1.38959485)×5.95684845917654e-05×R²
    0.000191749999999935×5.95684845917654e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.95684845917654e-05×40589641000000     		ar = 161520.988800575m²