Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9136 / 9584
↖ ↑ ↗
← S 29.228890°
E 20.742188°		 ← 2 132.13 m → S 29.228890°
E 20.764160°		 →
↑
2 131.93 m
↓
↑
2 131.93 m
↓
S 29.248063°
E 20.742188°		 ← 2 131.74 m →
4 545 132 m²		 S 29.248063°
E 20.764160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557647705078125 y=0.584991455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557647705078125 × 214)
    floor (0.557647705078125 × 16384)
    floor (9136.5)     		tx = 9136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584991455078125 × 214)
    floor (0.584991455078125 × 16384)
    floor (9584.5)     		ty = 9584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9136 / 9584 ti = "14/9136/9584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9136/9584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9136 ÷ 214
    9136 ÷ 16384     		x = 0.5576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9584 ÷ 214
    9584 ÷ 16384     		y = 0.5849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5576171875 × 2 - 1) × π
    0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5849609375 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36201947} λ = 0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533825314168945))-π/2
    2×atan(0.586357671798541)-π/2
    2×0.530327979538989-π/2
    1.06065595907798-1.57079632675     		φ = -0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9136 KachelY 9584 0.36201947 -0.51014037 20.742188 -29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 9137 KachelY 9584 0.36240296 -0.51014037 20.764160 -29.228890
    Unten links KachelX 9136 KachelY + 1 9585 0.36201947 -0.51047500 20.742188 -29.248063
    Unten rechts KachelX + 1 9137 KachelY + 1 9585 0.36240296 -0.51047500 20.764160 -29.248063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51014037--0.51047500) × R
    0.000334630000000002 × 6371000     		dl = 2131.92773000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51014037--0.51047500) × R
    0.000334630000000002 × 6371000     		dr = 2131.92773000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36201947-0.36240296) × cos(-0.51014037) × R
    0.000383489999999986 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 2132.13484559583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36201947-0.36240296) × cos(-0.51047500) × R
    0.000383489999999986 × 0.872512525005714 × 6371000     		du = 2131.73550555413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51014037)-sin(-0.51047500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.872512525005714)×R²
    abs(0.36240296-0.36201947)×0.000163448601953498×R²
    0.000383489999999986×0.000163448601953498×6371000²
    0.000383489999999986×0.000163448601953498×40589641000000     		ar = 4545131.76178378m²