Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9136 / 7117
↖ ↑ ↗
← N 70.797753°
W 79.628906°		 ← 401.78 m → N 70.797753°
W 79.617920°		 →
↑
401.82 m
↓
↑
401.82 m
↓
N 70.794139°
W 79.628906°		 ← 401.85 m →
161 458 m²		 N 70.794139°
W 79.617920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278823852539062 y=0.217208862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278823852539062 × 215)
    floor (0.278823852539062 × 32768)
    floor (9136.5)     		tx = 9136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217208862304688 × 215)
    floor (0.217208862304688 × 32768)
    floor (7117.5)     		ty = 7117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9136 / 7117 ti = "15/9136/7117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9136/7117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9136 ÷ 215
    9136 ÷ 32768     		x = 0.27880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7117 ÷ 215
    7117 ÷ 32768     		y = 0.217193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27880859375 × 2 - 1) × π
    -0.4423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38978659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217193603515625 × 2 - 1) × π
    0.56561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77692499511624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38978659} λ = -1.38978659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77692499511624))-π/2
    2×atan(5.91165008776815)-π/2
    2×1.40322511084512-π/2
    2.80645022169023-1.57079632675     		φ = 1.23565389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38978659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23565389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.797753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9136 KachelY 7117 -1.38978659 1.23565389 -79.628906 70.797753
    Oben rechts KachelX + 1 9137 KachelY 7117 -1.38959485 1.23565389 -79.617920 70.797753
    Unten links KachelX 9136 KachelY + 1 7118 -1.38978659 1.23559082 -79.628906 70.794139
    Unten rechts KachelX + 1 9137 KachelY + 1 7118 -1.38959485 1.23559082 -79.617920 70.794139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23565389-1.23559082) × R
    6.30699999999429e-05 × 6371000     		dl = 401.818969999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23565389-1.23559082) × R
    6.30699999999429e-05 × 6371000     		dr = 401.818969999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38978659--1.38959485) × cos(1.23565389) × R
    0.000191739999999996 × 0.328903685315946 × 6371000     		do = 401.780696997808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38978659--1.38959485) × cos(1.23559082) × R
    0.000191739999999996 × 0.328963245665876 × 6371000     		du = 401.853454464436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23565389)-sin(1.23559082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328903685315946-0.328963245665876)×R²
    abs(-1.38959485--1.38978659)×5.95603499300434e-05×R²
    0.000191739999999996×5.95603499300434e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.95603499300434e-05×40589641000000     		ar = 161457.723551399m²