Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9135 / 25661
↖ ↑ ↗
← S 70.833855°
W 79.639892°		 ← 401.07 m → S 70.833855°
W 79.628906°		 →
↑
401.05 m
↓
↑
401.05 m
↓
S 70.837462°
W 79.639892°		 ← 401 m →
160 838 m²		 S 70.837462°
W 79.628906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278793334960938 y=0.783126831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278793334960938 × 215)
    floor (0.278793334960938 × 32768)
    floor (9135.5)     		tx = 9135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783126831054688 × 215)
    floor (0.783126831054688 × 32768)
    floor (25661.5)     		ty = 25661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9135 / 25661 ti = "15/9135/25661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9135/25661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9135 ÷ 215
    9135 ÷ 32768     		x = 0.278778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25661 ÷ 215
    25661 ÷ 32768     		y = 0.783111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.44244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38997834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.56622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77884247110104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38997834} λ = -1.38997834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77884247110104))-π/2
    2×atan(0.168833463817992)-π/2
    2×0.167256168844969-π/2
    0.334512337689937-1.57079632675     		φ = -1.23628399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38997834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.639892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23628399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.833855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9135 KachelY 25661 -1.38997834 -1.23628399 -79.639892 -70.833855
    Oben rechts KachelX + 1 9136 KachelY 25661 -1.38978659 -1.23628399 -79.628906 -70.833855
    Unten links KachelX 9135 KachelY + 1 25662 -1.38997834 -1.23634694 -79.639892 -70.837462
    Unten rechts KachelX + 1 9136 KachelY + 1 25662 -1.38978659 -1.23634694 -79.628906 -70.837462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23628399--1.23634694) × R
    6.29500000000061e-05 × 6371000     		dl = 401.054450000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23628399--1.23634694) × R
    6.29500000000061e-05 × 6371000     		dr = 401.054450000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38997834--1.38978659) × cos(-1.23628399) × R
    0.000191750000000157 × 0.328308576640444 × 6371000     		do = 401.074643335928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38997834--1.38978659) × cos(-1.23634694) × R
    0.000191750000000157 × 0.32824911527538 × 6371000     		du = 401.002002998507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23628399)-sin(-1.23634694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328308576640444-0.32824911527538)×R²
    abs(-1.38978659--1.38997834)×5.9461365064295e-05×R²
    0.000191750000000157×5.9461365064295e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.9461365064295e-05×40589641000000     		ar = 160838.204179715m²