Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9134 / 9807
↖ ↑ ↗
← S 33.413102°
E 20.698242°		 ← 2 039.41 m → S 33.413102°
E 20.720215°		 →
↑
2 039.17 m
↓
↑
2 039.17 m
↓
S 33.431441°
E 20.698242°		 ← 2 038.97 m →
4 158 246 m²		 S 33.431441°
E 20.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557525634765625 y=0.598602294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557525634765625 × 214)
    floor (0.557525634765625 × 16384)
    floor (9134.5)     		tx = 9134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598602294921875 × 214)
    floor (0.598602294921875 × 16384)
    floor (9807.5)     		ty = 9807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9134 / 9807 ti = "14/9134/9807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9134/9807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9134 ÷ 214
    9134 ÷ 16384     		x = 0.5574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9807 ÷ 214
    9807 ÷ 16384     		y = 0.59857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5574951171875 × 2 - 1) × π
    0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59857177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1971435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.619344743091126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36125248} λ = 0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619344743091126))-π/2
    2×atan(0.538297044915574)-π/2
    2×0.493813839937529-π/2
    0.987627679875057-1.57079632675     		φ = -0.58316865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58316865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.413102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9134 KachelY 9807 0.36125248 -0.58316865 20.698242 -33.413102
    Oben rechts KachelX + 1 9135 KachelY 9807 0.36163597 -0.58316865 20.720215 -33.413102
    Unten links KachelX 9134 KachelY + 1 9808 0.36125248 -0.58348872 20.698242 -33.431441
    Unten rechts KachelX + 1 9135 KachelY + 1 9808 0.36163597 -0.58348872 20.720215 -33.431441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58316865--0.58348872) × R
    0.000320070000000006 × 6371000     		dl = 2039.16597000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58316865--0.58348872) × R
    0.000320070000000006 × 6371000     		dr = 2039.16597000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36125248-0.36163597) × cos(-0.58316865) × R
    0.000383489999999986 × 0.834721957591338 × 6371000     		do = 2039.40503232484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36125248-0.36163597) × cos(-0.58348872) × R
    0.000383489999999986 × 0.834545661366529 × 6371000     		du = 2038.97430278096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58316865)-sin(-0.58348872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834721957591338-0.834545661366529)×R²
    abs(0.36163597-0.36125248)×0.000176296224808303×R²
    0.000383489999999986×0.000176296224808303×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176296224808303×40589641000000     		ar = 4158246.21195009m²