Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9134 / 9797
↖ ↑ ↗
← S 33.229498°
E 20.698242°		 ← 2 043.71 m → S 33.229498°
E 20.720215°		 →
↑
2 043.50 m
↓
↑
2 043.50 m
↓
S 33.247876°
E 20.698242°		 ← 2 043.28 m →
4 175 871 m²		 S 33.247876°
E 20.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557525634765625 y=0.597991943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557525634765625 × 214)
    floor (0.557525634765625 × 16384)
    floor (9134.5)     		tx = 9134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597991943359375 × 214)
    floor (0.597991943359375 × 16384)
    floor (9797.5)     		ty = 9797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9134 / 9797 ti = "14/9134/9797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9134/9797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9134 ÷ 214
    9134 ÷ 16384     		x = 0.5574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9797 ÷ 214
    9797 ÷ 16384     		y = 0.59796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5574951171875 × 2 - 1) × π
    0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.1959228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.615509791121521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36125248} λ = 0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615509791121521))-π/2
    2×atan(0.540365351621787)-π/2
    2×0.495416087727991-π/2
    0.990832175455982-1.57079632675     		φ = -0.57996415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57996415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.229498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9134 KachelY 9797 0.36125248 -0.57996415 20.698242 -33.229498
    Oben rechts KachelX + 1 9135 KachelY 9797 0.36163597 -0.57996415 20.720215 -33.229498
    Unten links KachelX 9134 KachelY + 1 9798 0.36125248 -0.58028490 20.698242 -33.247876
    Unten rechts KachelX + 1 9135 KachelY + 1 9798 0.36163597 -0.58028490 20.720215 -33.247876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57996415--0.58028490) × R
    0.000320749999999981 × 6371000     		dl = 2043.49824999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57996415--0.58028490) × R
    0.000320749999999981 × 6371000     		dr = 2043.49824999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36125248-0.36163597) × cos(-0.57996415) × R
    0.000383489999999986 × 0.836482296035796 × 6371000     		do = 2043.70591724774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36125248-0.36163597) × cos(-0.58028490) × R
    0.000383489999999986 × 0.836306483950703 × 6371000     		du = 2043.27637056118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57996415)-sin(-0.58028490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836482296035796-0.836306483950703)×R²
    abs(0.36163597-0.36125248)×0.00017581208509343×R²
    0.000383489999999986×0.00017581208509343×6371000²
    0.000383489999999986×0.00017581208509343×40589641000000     		ar = 4175870.61226115m²