Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9134 / 9794
↖ ↑ ↗
← S 33.174342°
E 20.698242°		 ← 2 044.99 m → S 33.174342°
E 20.720215°		 →
↑
2 044.77 m
↓
↑
2 044.77 m
↓
S 33.192731°
E 20.698242°		 ← 2 044.56 m →
4 181 108 m²		 S 33.192731°
E 20.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557525634765625 y=0.597808837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557525634765625 × 214)
    floor (0.557525634765625 × 16384)
    floor (9134.5)     		tx = 9134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597808837890625 × 214)
    floor (0.597808837890625 × 16384)
    floor (9794.5)     		ty = 9794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9134 / 9794 ti = "14/9134/9794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9134/9794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9134 ÷ 214
    9134 ÷ 16384     		x = 0.5574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9794 ÷ 214
    9794 ÷ 16384     		y = 0.5977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5574951171875 × 2 - 1) × π
    0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.195556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.61435930553064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36125248} λ = 0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61435930553064))-π/2
    2×atan(0.540987391928232)-π/2
    2×0.495897419781723-π/2
    0.991794839563446-1.57079632675     		φ = -0.57900149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57900149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.174342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9134 KachelY 9794 0.36125248 -0.57900149 20.698242 -33.174342
    Oben rechts KachelX + 1 9135 KachelY 9794 0.36163597 -0.57900149 20.720215 -33.174342
    Unten links KachelX 9134 KachelY + 1 9795 0.36125248 -0.57932244 20.698242 -33.192731
    Unten rechts KachelX + 1 9135 KachelY + 1 9795 0.36163597 -0.57932244 20.720215 -33.192731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57900149--0.57932244) × R
    0.000320949999999987 × 6371000     		dl = 2044.77244999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57900149--0.57932244) × R
    0.000320949999999987 × 6371000     		dr = 2044.77244999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36125248-0.36163597) × cos(-0.57900149) × R
    0.000383489999999986 × 0.837009440219494 × 6371000     		do = 2044.99384371382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36125248-0.36163597) × cos(-0.57932244) × R
    0.000383489999999986 × 0.8368337769806 × 6371000     		du = 2044.56466069049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57900149)-sin(-0.57932244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837009440219494-0.8368337769806)×R²
    abs(0.36163597-0.36125248)×0.000175663238894064×R²
    0.000383489999999986×0.000175663238894064×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175663238894064×40589641000000     		ar = 4181108.3171252m²