Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9132 / 9817
↖ ↑ ↗
← S 33.596319°
E 20.654297°		 ← 2 035.09 m → S 33.596319°
E 20.676270°		 →
↑
2 034.90 m
↓
↑
2 034.90 m
↓
S 33.614619°
E 20.654297°		 ← 2 034.66 m →
4 140 765 m²		 S 33.614619°
E 20.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557403564453125 y=0.599212646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557403564453125 × 214)
    floor (0.557403564453125 × 16384)
    floor (9132.5)     		tx = 9132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599212646484375 × 214)
    floor (0.599212646484375 × 16384)
    floor (9817.5)     		ty = 9817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9132 / 9817 ti = "14/9132/9817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9132/9817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9132 ÷ 214
    9132 ÷ 16384     		x = 0.557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9817 ÷ 214
    9817 ÷ 16384     		y = 0.59918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557373046875 × 2 - 1) × π
    0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59918212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.62317969506073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36048549} λ = 0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62317969506073))-π/2
    2×atan(0.536236654876517)-π/2
    2×0.492214972193883-π/2
    0.984429944387767-1.57079632675     		φ = -0.58636638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58636638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.596319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9132 KachelY 9817 0.36048549 -0.58636638 20.654297 -33.596319
    Oben rechts KachelX + 1 9133 KachelY 9817 0.36086898 -0.58636638 20.676270 -33.596319
    Unten links KachelX 9132 KachelY + 1 9818 0.36048549 -0.58668578 20.654297 -33.614619
    Unten rechts KachelX + 1 9133 KachelY + 1 9818 0.36086898 -0.58668578 20.676270 -33.614619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58636638--0.58668578) × R
    0.000319400000000081 × 6371000     		dl = 2034.89740000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58636638--0.58668578) × R
    0.000319400000000081 × 6371000     		dr = 2034.89740000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36048549-0.36086898) × cos(-0.58636638) × R
    0.000383489999999986 × 0.832956793662051 × 6371000     		do = 2035.09235770603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36048549-0.36086898) × cos(-0.58668578) × R
    0.000383489999999986 × 0.832780015009381 × 6371000     		du = 2034.66044948727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58636638)-sin(-0.58668578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832956793662051-0.832780015009381)×R²
    abs(0.36086898-0.36048549)×0.000176778652670517×R²
    0.000383489999999986×0.000176778652670517×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176778652670517×40589641000000     		ar = 4140764.73820226m²