Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 913 / 462
↖ ↑ ↗
← N 69.778952°
W 19.511718°		 ← 6 755.93 m → N 69.778952°
W 19.335937°		 →
↑
6 765.68 m
↓
↑
6 765.68 m
↓
N 69.718107°
W 19.511718°		 ← 6 775.40 m →
45 774 348 m²		 N 69.718107°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446044921875 y=0.225830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446044921875 × 211)
    floor (0.446044921875 × 2048)
    floor (913.5)     		tx = 913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225830078125 × 211)
    floor (0.225830078125 × 2048)
    floor (462.5)     		ty = 462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 913 / 462 ti = "11/913/462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/913/462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 913 ÷ 211
    913 ÷ 2048     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 462 ÷ 211
    462 ÷ 2048     		y = 0.2255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2255859375 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72419440553418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72419440553418))-π/2
    2×atan(5.60800143453719)-π/2
    2×1.39433439193378-π/2
    2.78866878386757-1.57079632675     		φ = 1.21787246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21787246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.778952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 913 KachelY 462 -0.34054373 1.21787246 -19.511718 69.778952
    Oben rechts KachelX + 1 914 KachelY 462 -0.33747577 1.21787246 -19.335937 69.778952
    Unten links KachelX 913 KachelY + 1 463 -0.34054373 1.21681051 -19.511718 69.718107
    Unten rechts KachelX + 1 914 KachelY + 1 463 -0.33747577 1.21681051 -19.335937 69.718107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21787246-1.21681051) × R
    0.00106194999999998 × 6371000     		dl = 6765.68344999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21787246-1.21681051) × R
    0.00106194999999998 × 6371000     		dr = 6765.68344999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.33747577) × cos(1.21787246) × R
    0.00306795999999998 × 0.345642938510007 × 6371000     		do = 6755.92759906009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.33747577) × cos(1.21681051) × R
    0.00306795999999998 × 0.346639241317444 × 6371000     		du = 6775.40130699348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21787246)-sin(1.21681051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345642938510007-0.346639241317444)×R²
    abs(-0.33747577--0.34054373)×0.0009963028074369×R²
    0.00306795999999998×0.0009963028074369×6371000²
    0.00306795999999998×0.0009963028074369×40589641000000     		ar = 45774348.3198945m²