Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 913 / 1355
↖ ↑ ↗
← S 50.176898°
W 19.511718°		 ← 12.518 km → S 50.176898°
W 19.335937°		 →
↑
12.503 km
↓
↑
12.503 km
↓
S 50.289339°
W 19.511718°		 ← 12.488 km →
156.322 km²		 S 50.289339°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446044921875 y=0.661865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446044921875 × 211)
    floor (0.446044921875 × 2048)
    floor (913.5)     		tx = 913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661865234375 × 211)
    floor (0.661865234375 × 2048)
    floor (1355.5)     		ty = 1355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 913 / 1355 ti = "11/913/1355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/913/1355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 913 ÷ 211
    913 ÷ 2048     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1355 ÷ 211
    1355 ÷ 2048     		y = 0.66162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66162109375 × 2 - 1) × π
    -0.3232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01549528155127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01549528155127))-π/2
    2×atan(0.362222983036871)-π/2
    2×0.347522123073404-π/2
    0.695044246146807-1.57079632675     		φ = -0.87575208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87575208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.176898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 913 KachelY 1355 -0.34054373 -0.87575208 -19.511718 -50.176898
    Oben rechts KachelX + 1 914 KachelY 1355 -0.33747577 -0.87575208 -19.335937 -50.176898
    Unten links KachelX 913 KachelY + 1 1356 -0.34054373 -0.87771455 -19.511718 -50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 914 KachelY + 1 1356 -0.33747577 -0.87771455 -19.335937 -50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87575208--0.87771455) × R
    0.00196246999999994 × 6371000     		dl = 12502.8963699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87575208--0.87771455) × R
    0.00196246999999994 × 6371000     		dr = 12502.8963699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.33747577) × cos(-0.87575208) × R
    0.00306795999999998 × 0.640419422818882 × 6371000     		do = 12517.6208495605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.33747577) × cos(-0.87771455) × R
    0.00306795999999998 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 12488.1365505858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87575208)-sin(-0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640419422818882-0.638910963826672)×R²
    abs(-0.33747577--0.34054373)×0.00150845899220964×R²
    0.00306795999999998×0.00150845899220964×6371000²
    0.00306795999999998×0.00150845899220964×40589641000000     		ar = 156322246.883866m²