Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9129 / 11300
↖ ↑ ↗
← N 75.447551°
W129.852905°		 ← 153.47 m → N 75.447551°
W129.847412°		 →
↑
153.48 m
↓
↑
153.48 m
↓
N 75.446171°
W129.852905°		 ← 153.48 m →
23 555 m²		 N 75.446171°
W129.847412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139305114746094 y=0.172431945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139305114746094 × 216)
    floor (0.139305114746094 × 65536)
    floor (9129.5)     		tx = 9129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172431945800781 × 216)
    floor (0.172431945800781 × 65536)
    floor (11300.5)     		ty = 11300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9129 / 11300 ti = "16/9129/11300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9129/11300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9129 ÷ 216
    9129 ÷ 65536     		x = 0.139297485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11300 ÷ 216
    11300 ÷ 65536     		y = 0.17242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139297485351562 × 2 - 1) × π
    -0.721405029296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26636074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17242431640625 × 2 - 1) × π
    0.6551513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05821872208673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26636074} λ = -2.26636074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05821872208673))-π/2
    2×atan(7.83200639763855)-π/2
    2×1.44380225537745-π/2
    2.88760451075489-1.57079632675     		φ = 1.31680818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26636074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.852905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31680818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.447551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9129 KachelY 11300 -2.26636074 1.31680818 -129.852905 75.447551
    Oben rechts KachelX + 1 9130 KachelY 11300 -2.26626487 1.31680818 -129.847412 75.447551
    Unten links KachelX 9129 KachelY + 1 11301 -2.26636074 1.31678409 -129.852905 75.446171
    Unten rechts KachelX + 1 9130 KachelY + 1 11301 -2.26626487 1.31678409 -129.847412 75.446171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31680818-1.31678409) × R
    2.40899999999211e-05 × 6371000     		dl = 153.477389999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31680818-1.31678409) × R
    2.40899999999211e-05 × 6371000     		dr = 153.477389999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26636074--2.26626487) × cos(1.31680818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251266146463925 × 6371000     		do = 153.470289275191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26636074--2.26626487) × cos(1.31678409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251289463536492 × 6371000     		du = 153.484531057947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31680818)-sin(1.31678409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251266146463925-0.251289463536492)×R²
    abs(-2.26626487--2.26636074)×2.33170725668641e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33170725668641e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33170725668641e-05×40589641000000     		ar = 23555.3123373813m²