Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9128 / 7012
↖ ↑ ↗
← N 80.323813°
W129.858398°		 ← 102.66 m → N 80.323813°
W129.852905°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
N 80.322890°
W129.858398°		 ← 102.67 m →
10 537 m²		 N 80.322890°
W129.852905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139289855957031 y=0.107002258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139289855957031 × 216)
    floor (0.139289855957031 × 65536)
    floor (9128.5)     		tx = 9128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107002258300781 × 216)
    floor (0.107002258300781 × 65536)
    floor (7012.5)     		ty = 7012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9128 / 7012 ti = "16/9128/7012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9128/7012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9128 ÷ 216
    9128 ÷ 65536     		x = 0.1392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7012 ÷ 216
    7012 ÷ 65536     		y = 0.10699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26645661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10699462890625 × 2 - 1) × π
    0.7860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46932557322833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26645661} λ = -2.26645661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46932557322833))-π/2
    2×atan(11.8144761651073)-π/2
    2×1.48635566992618-π/2
    2.97271133985237-1.57079632675     		φ = 1.40191501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26645661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.858398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40191501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.323813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9128 KachelY 7012 -2.26645661 1.40191501 -129.858398 80.323813
    Oben rechts KachelX + 1 9129 KachelY 7012 -2.26636074 1.40191501 -129.852905 80.323813
    Unten links KachelX 9128 KachelY + 1 7013 -2.26645661 1.40189890 -129.858398 80.322890
    Unten rechts KachelX + 1 9129 KachelY + 1 7013 -2.26636074 1.40189890 -129.852905 80.322890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40191501-1.40189890) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40191501-1.40189890) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26645661--2.26636074) × cos(1.40191501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168079686309222 × 6371000     		do = 102.661016783107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26645661--2.26636074) × cos(1.40189890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168095567097071 × 6371000     		du = 102.670716574103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40191501)-sin(1.40189890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168079686309222-0.168095567097071)×R²
    abs(-2.26636074--2.26645661)×1.58807878494482e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58807878494482e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58807878494482e-05×40589641000000     		ar = 10537.2970519479m²