Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9128 / 11303
↖ ↑ ↗
← N 75.443410°
W129.858398°		 ← 153.51 m → N 75.443410°
W129.852905°		 →
↑
153.48 m
↓
↑
153.48 m
↓
N 75.442030°
W129.858398°		 ← 153.53 m →
23 562 m²		 N 75.442030°
W129.852905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139289855957031 y=0.172477722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139289855957031 × 216)
    floor (0.139289855957031 × 65536)
    floor (9128.5)     		tx = 9128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172477722167969 × 216)
    floor (0.172477722167969 × 65536)
    floor (11303.5)     		ty = 11303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9128 / 11303 ti = "16/9128/11303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9128/11303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9128 ÷ 216
    9128 ÷ 65536     		x = 0.1392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11303 ÷ 216
    11303 ÷ 65536     		y = 0.172470092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26645661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172470092773438 × 2 - 1) × π
    0.655059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05793110068901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26645661} λ = -2.26645661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05793110068901))-π/2
    2×atan(7.82975406893601)-π/2
    2×1.44376611558759-π/2
    2.88753223117518-1.57079632675     		φ = 1.31673590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26645661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.858398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31673590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.443410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9128 KachelY 11303 -2.26645661 1.31673590 -129.858398 75.443410
    Oben rechts KachelX + 1 9129 KachelY 11303 -2.26636074 1.31673590 -129.852905 75.443410
    Unten links KachelX 9128 KachelY + 1 11304 -2.26645661 1.31671181 -129.858398 75.442030
    Unten rechts KachelX + 1 9129 KachelY + 1 11304 -2.26636074 1.31671181 -129.852905 75.442030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31673590-1.31671181) × R
    2.40900000001432e-05 × 6371000     		dl = 153.477390000912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31673590-1.31671181) × R
    2.40900000001432e-05 × 6371000     		dr = 153.477390000912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26645661--2.26636074) × cos(1.31673590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.25133610692312 × 6371000     		do = 153.513020268051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26645661--2.26636074) × cos(1.31671181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251359423558095 × 6371000     		du = 153.527261783531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31673590)-sin(1.31671181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25133610692312-0.251359423558095)×R²
    abs(-2.26636074--2.26645661)×2.3316634974957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.3316634974957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.3316634974957e-05×40589641000000     		ar = 23561.870558158m²