Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9127 / 9641
↖ ↑ ↗
← S 30.315988°
E 20.544434°		 ← 2 109.12 m → S 30.315988°
E 20.566406°		 →
↑
2 108.93 m
↓
↑
2 108.93 m
↓
S 30.334954°
E 20.544434°		 ← 2 108.71 m →
4 447 546 m²		 S 30.334954°
E 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557098388671875 y=0.588470458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557098388671875 × 214)
    floor (0.557098388671875 × 16384)
    floor (9127.5)     		tx = 9127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588470458984375 × 214)
    floor (0.588470458984375 × 16384)
    floor (9641.5)     		ty = 9641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9127 / 9641 ti = "14/9127/9641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9127/9641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9127 ÷ 214
    9127 ÷ 16384     		x = 0.55706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9641 ÷ 214
    9641 ÷ 16384     		y = 0.58843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55706787109375 × 2 - 1) × π
    0.1141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35856801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58843994140625 × 2 - 1) × π
    -0.1768798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.555684540395691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35856801} λ = 0.35856801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555684540395691))-π/2
    2×atan(0.57367942001677)-π/2
    2×0.520841262562804-π/2
    1.04168252512561-1.57079632675     		φ = -0.52911380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35856801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.544434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52911380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.315988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9127 KachelY 9641 0.35856801 -0.52911380 20.544434 -30.315988
    Oben rechts KachelX + 1 9128 KachelY 9641 0.35895150 -0.52911380 20.566406 -30.315988
    Unten links KachelX 9127 KachelY + 1 9642 0.35856801 -0.52944482 20.544434 -30.334954
    Unten rechts KachelX + 1 9128 KachelY + 1 9642 0.35895150 -0.52944482 20.566406 -30.334954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52911380--0.52944482) × R
    0.000331020000000071 × 6371000     		dl = 2108.92842000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52911380--0.52944482) × R
    0.000331020000000071 × 6371000     		dr = 2108.92842000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35856801-0.35895150) × cos(-0.52911380) × R
    0.000383489999999986 × 0.863254735300163 × 6371000     		do = 2109.11673682282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35856801-0.35895150) × cos(-0.52944482) × R
    0.000383489999999986 × 0.863087599531434 × 6371000     		du = 2108.70838824072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52911380)-sin(-0.52944482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863254735300163-0.863087599531434)×R²
    abs(0.35895150-0.35856801)×0.000167135768728399×R²
    0.000383489999999986×0.000167135768728399×6371000²
    0.000383489999999986×0.000167135768728399×40589641000000     		ar = 4447545.6790295m²