Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9126 / 25642
↖ ↑ ↗
← S 70.765205°
W 79.738770°		 ← 402.46 m → S 70.765205°
W 79.727783°		 →
↑
402.46 m
↓
↑
402.46 m
↓
S 70.768825°
W 79.738770°		 ← 402.38 m →
161 957 m²		 S 70.768825°
W 79.727783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278518676757812 y=0.782546997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278518676757812 × 215)
    floor (0.278518676757812 × 32768)
    floor (9126.5)     		tx = 9126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782546997070312 × 215)
    floor (0.782546997070312 × 32768)
    floor (25642.5)     		ty = 25642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9126 / 25642 ti = "15/9126/25642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9126/25642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9126 ÷ 215
    9126 ÷ 32768     		x = 0.27850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25642 ÷ 215
    25642 ÷ 32768     		y = 0.78253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.4429931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39170407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.5650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77519926672992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39170407} λ = -1.39170407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77519926672992))-π/2
    2×atan(0.169449680451349)-π/2
    2×0.167855246525151-π/2
    0.335710493050303-1.57079632675     		φ = -1.23508583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39170407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.738770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23508583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.765205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9126 KachelY 25642 -1.39170407 -1.23508583 -79.738770 -70.765205
    Oben rechts KachelX + 1 9127 KachelY 25642 -1.39151232 -1.23508583 -79.727783 -70.765205
    Unten links KachelX 9126 KachelY + 1 25643 -1.39170407 -1.23514900 -79.738770 -70.768825
    Unten rechts KachelX + 1 9127 KachelY + 1 25643 -1.39151232 -1.23514900 -79.727783 -70.768825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23508583--1.23514900) × R
    6.31700000000013e-05 × 6371000     		dl = 402.456070000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23508583--1.23514900) × R
    6.31700000000013e-05 × 6371000     		dr = 402.456070000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39170407--1.39151232) × cos(-1.23508583) × R
    0.000191750000000157 × 0.329440087333239 × 6371000     		do = 402.456941210042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39170407--1.39151232) × cos(-1.23514900) × R
    0.000191750000000157 × 0.329380443047614 × 6371000     		du = 402.384077409684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23508583)-sin(-1.23514900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329440087333239-0.329380443047614)×R²
    abs(-1.39151232--1.39170407)×5.9644285625049e-05×R²
    0.000191750000000157×5.9644285625049e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.9644285625049e-05×40589641000000     		ar = 161956.576718522m²