Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9124 / 25699
↖ ↑ ↗
← S 70.970446°
W 79.760742°		 ← 398.30 m → S 70.970446°
W 79.749756°		 →
↑
398.31 m
↓
↑
398.31 m
↓
S 70.974028°
W 79.760742°		 ← 398.23 m →
158 635 m²		 S 70.974028°
W 79.749756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278457641601562 y=0.784286499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278457641601562 × 215)
    floor (0.278457641601562 × 32768)
    floor (9124.5)     		tx = 9124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784286499023438 × 215)
    floor (0.784286499023438 × 32768)
    floor (25699.5)     		ty = 25699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9124 / 25699 ti = "15/9124/25699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9124/25699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9124 ÷ 215
    9124 ÷ 32768     		x = 0.2784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25699 ÷ 215
    25699 ÷ 32768     		y = 0.784271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39208756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.56854248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78612887984329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39208756} λ = -1.39208756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78612887984329))-π/2
    2×atan(0.167607745157783)-π/2
    2×0.166064181383505-π/2
    0.33212836276701-1.57079632675     		φ = -1.23866796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39208756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.760742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23866796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.970446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9124 KachelY 25699 -1.39208756 -1.23866796 -79.760742 -70.970446
    Oben rechts KachelX + 1 9125 KachelY 25699 -1.39189582 -1.23866796 -79.749756 -70.970446
    Unten links KachelX 9124 KachelY + 1 25700 -1.39208756 -1.23873048 -79.760742 -70.974028
    Unten rechts KachelX + 1 9125 KachelY + 1 25700 -1.39189582 -1.23873048 -79.749756 -70.974028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23866796--1.23873048) × R
    6.25200000001769e-05 × 6371000     		dl = 398.314920001127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23866796--1.23873048) × R
    6.25200000001769e-05 × 6371000     		dr = 398.314920001127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39208756--1.39189582) × cos(-1.23866796) × R
    0.000191739999999996 × 0.326055818036902 × 6371000     		do = 398.301811988562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39208756--1.39189582) × cos(-1.23873048) × R
    0.000191739999999996 × 0.325996714085265 × 6371000     		du = 398.229612046925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23866796)-sin(-1.23873048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326055818036902-0.325996714085265)×R²
    abs(-1.39189582--1.39208756)×5.91039516367187e-05×R²
    0.000191739999999996×5.91039516367187e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.91039516367187e-05×40589641000000     		ar = 158635.175273776m²