Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9123 / 7011
↖ ↑ ↗
← N 80.324737°
W129.885864°		 ← 102.65 m → N 80.324737°
W129.880371°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
N 80.323813°
W129.885864°		 ← 102.66 m →
10 543 m²		 N 80.323813°
W129.880371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139213562011719 y=0.106986999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139213562011719 × 216)
    floor (0.139213562011719 × 65536)
    floor (9123.5)     		tx = 9123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106986999511719 × 216)
    floor (0.106986999511719 × 65536)
    floor (7011.5)     		ty = 7011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9123 / 7011 ti = "16/9123/7011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9123/7011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9123 ÷ 216
    9123 ÷ 65536     		x = 0.139205932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7011 ÷ 216
    7011 ÷ 65536     		y = 0.106979370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139205932617188 × 2 - 1) × π
    -0.721588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26693598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106979370117188 × 2 - 1) × π
    0.786041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46942144702757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26693598} λ = -2.26693598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46942144702757))-π/2
    2×atan(11.8156089181231)-π/2
    2×1.48636372676436-π/2
    2.97272745352872-1.57079632675     		φ = 1.40193113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26693598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.885864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40193113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.324737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9123 KachelY 7011 -2.26693598 1.40193113 -129.885864 80.324737
    Oben rechts KachelX + 1 9124 KachelY 7011 -2.26684011 1.40193113 -129.880371 80.324737
    Unten links KachelX 9123 KachelY + 1 7012 -2.26693598 1.40191501 -129.885864 80.323813
    Unten rechts KachelX + 1 9124 KachelY + 1 7012 -2.26684011 1.40191501 -129.880371 80.323813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40193113-1.40191501) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40193113-1.40191501) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26693598--2.26684011) × cos(1.40193113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168063795619989 × 6371000     		do = 102.651310944467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26693598--2.26684011) × cos(1.40191501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168079686309222 × 6371000     		du = 102.661016783107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40193113)-sin(1.40191501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168063795619989-0.168079686309222)×R²
    abs(-2.26684011--2.26693598)×1.58906892326338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58906892326338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58906892326338e-05×40589641000000     		ar = 10542.8414102123m²