Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9123 / 26279
↖ ↑ ↗
← S 72.942209°
W 79.771728°		 ← 358.35 m → S 72.942209°
W 79.760742°		 →
↑
358.31 m
↓
↑
358.31 m
↓
S 72.945431°
W 79.771728°		 ← 358.29 m →
128 387 m²		 S 72.945431°
W 79.760742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278427124023438 y=0.801986694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278427124023438 × 215)
    floor (0.278427124023438 × 32768)
    floor (9123.5)     		tx = 9123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801986694335938 × 215)
    floor (0.801986694335938 × 32768)
    floor (26279.5)     		ty = 26279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9123 / 26279 ti = "15/9123/26279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9123/26279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9123 ÷ 215
    9123 ÷ 32768     		x = 0.278411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26279 ÷ 215
    26279 ÷ 32768     		y = 0.801971435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.44317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39227931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801971435546875 × 2 - 1) × π
    -0.60394287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89734248696182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39227931} λ = -1.39227931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89734248696182))-π/2
    2×atan(0.149966628401371)-π/2
    2×0.148857310189457-π/2
    0.297714620378914-1.57079632675     		φ = -1.27308171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39227931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.771728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27308171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.942209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9123 KachelY 26279 -1.39227931 -1.27308171 -79.771728 -72.942209
    Oben rechts KachelX + 1 9124 KachelY 26279 -1.39208756 -1.27308171 -79.760742 -72.942209
    Unten links KachelX 9123 KachelY + 1 26280 -1.39227931 -1.27313795 -79.771728 -72.945431
    Unten rechts KachelX + 1 9124 KachelY + 1 26280 -1.39208756 -1.27313795 -79.760742 -72.945431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27308171--1.27313795) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dl = 358.305039999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27308171--1.27313795) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dr = 358.305039999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39227931--1.39208756) × cos(-1.27308171) × R
    0.000191749999999935 × 0.293336126847236 × 6371000     		do = 358.350925999441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39227931--1.39208756) × cos(-1.27313795) × R
    0.000191749999999935 × 0.29328236041636 × 6371000     		du = 358.28524281715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27308171)-sin(-1.27313795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293336126847236-0.29328236041636)×R²
    abs(-1.39208756--1.39227931)×5.37664308764008e-05×R²
    0.000191749999999935×5.37664308764008e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.37664308764008e-05×40589641000000     		ar = 128387.175600771m²