Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9122 / 25703
↖ ↑ ↗
← S 70.984770°
W 79.782715°		 ← 398.03 m → S 70.984770°
W 79.771728°		 →
↑
397.93 m
↓
↑
397.93 m
↓
S 70.988349°
W 79.782715°		 ← 397.96 m →
158 376 m²		 S 70.988349°
W 79.771728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278396606445312 y=0.784408569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278396606445312 × 215)
    floor (0.278396606445312 × 32768)
    floor (9122.5)     		tx = 9122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784408569335938 × 215)
    floor (0.784408569335938 × 32768)
    floor (25703.5)     		ty = 25703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9122 / 25703 ti = "15/9122/25703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9122/25703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9122 ÷ 215
    9122 ÷ 32768     		x = 0.27838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25703 ÷ 215
    25703 ÷ 32768     		y = 0.784393310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.4432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39247106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.56878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78689587023721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39247106} λ = -1.39247106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78689587023721))-π/2
    2×atan(0.16747924091436)-π/2
    2×0.165939185867133-π/2
    0.331878371734266-1.57079632675     		φ = -1.23891796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39247106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.782715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23891796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.984770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9122 KachelY 25703 -1.39247106 -1.23891796 -79.782715 -70.984770
    Oben rechts KachelX + 1 9123 KachelY 25703 -1.39227931 -1.23891796 -79.771728 -70.984770
    Unten links KachelX 9122 KachelY + 1 25704 -1.39247106 -1.23898042 -79.782715 -70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 9123 KachelY + 1 25704 -1.39227931 -1.23898042 -79.771728 -70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23891796--1.23898042) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000     		dl = 397.932660000621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23891796--1.23898042) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000     		dr = 397.932660000621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39247106--1.39227931) × cos(-1.23891796) × R
    0.000191750000000157 × 0.325819470220403 × 6371000     		do = 398.033853235776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39247106--1.39227931) × cos(-1.23898042) × R
    0.000191750000000157 × 0.325760417901964 × 6371000     		du = 397.961712605768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23891796)-sin(-1.23898042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325819470220403-0.325760417901964)×R²
    abs(-1.39227931--1.39247106)×5.90523184384462e-05×R²
    0.000191750000000157×5.90523184384462e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.90523184384462e-05×40589641000000     		ar = 158376.316483852m²