Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9122 / 11296
↖ ↑ ↗
← N 75.453072°
W129.891358°		 ← 153.43 m → N 75.453072°
W129.885864°		 →
↑
153.48 m
↓
↑
153.48 m
↓
N 75.451691°
W129.891358°		 ← 153.44 m →
23 549 m²		 N 75.451691°
W129.885864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139198303222656 y=0.172370910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139198303222656 × 216)
    floor (0.139198303222656 × 65536)
    floor (9122.5)     		tx = 9122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172370910644531 × 216)
    floor (0.172370910644531 × 65536)
    floor (11296.5)     		ty = 11296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9122 / 11296 ti = "16/9122/11296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9122/11296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9122 ÷ 216
    9122 ÷ 65536     		x = 0.139190673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11296 ÷ 216
    11296 ÷ 65536     		y = 0.17236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.72161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26703186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17236328125 × 2 - 1) × π
    0.6552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05860221728369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26703186} λ = -2.26703186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05860221728369))-π/2
    2×atan(7.83501051046922)-π/2
    2×1.44385042611595-π/2
    2.88770085223191-1.57079632675     		φ = 1.31690453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26703186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.891358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31690453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.453072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9122 KachelY 11296 -2.26703186 1.31690453 -129.891358 75.453072
    Oben rechts KachelX + 1 9123 KachelY 11296 -2.26693598 1.31690453 -129.885864 75.453072
    Unten links KachelX 9122 KachelY + 1 11297 -2.26703186 1.31688044 -129.891358 75.451691
    Unten rechts KachelX + 1 9123 KachelY + 1 11297 -2.26693598 1.31688044 -129.885864 75.451691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31690453-1.31688044) × R
    2.40899999999211e-05 × 6371000     		dl = 153.477389999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31690453-1.31688044) × R
    2.40899999999211e-05 × 6371000     		dr = 153.477389999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26703186--2.26693598) × cos(1.31690453) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.251172886395047 × 6371000     		do = 153.429329390186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26703186--2.26693598) × cos(1.31688044) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.251196204050739 × 6371000     		du = 153.443573014676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31690453)-sin(1.31688044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251172886395047-0.251196204050739)×R²
    abs(-2.26693598--2.26703186)×2.3317655692412e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.3317655692412e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.3317655692412e-05×40589641000000     		ar = 23549.026062195m²