Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9121 / 9787
↖ ↑ ↗
← S 33.045508°
E 20.412598°		 ← 2 047.99 m → S 33.045508°
E 20.434570°		 →
↑
2 047.83 m
↓
↑
2 047.83 m
↓
S 33.063924°
E 20.412598°		 ← 2 047.57 m →
4 193 508 m²		 S 33.063924°
E 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556732177734375 y=0.597381591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556732177734375 × 214)
    floor (0.556732177734375 × 16384)
    floor (9121.5)     		tx = 9121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597381591796875 × 214)
    floor (0.597381591796875 × 16384)
    floor (9787.5)     		ty = 9787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9121 / 9787 ti = "14/9121/9787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9121/9787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9121 ÷ 214
    9121 ÷ 16384     		x = 0.55670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9787 ÷ 214
    9787 ÷ 16384     		y = 0.59735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55670166015625 × 2 - 1) × π
    0.1134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35626704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.1947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.611674839151917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35626704} λ = 0.35626704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611674839151917))-π/2
    2×atan(0.542441605413482)-π/2
    2×0.497021706222928-π/2
    0.994043412445855-1.57079632675     		φ = -0.57675291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35626704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.412598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57675291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.045508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9121 KachelY 9787 0.35626704 -0.57675291 20.412598 -33.045508
    Oben rechts KachelX + 1 9122 KachelY 9787 0.35665053 -0.57675291 20.434570 -33.045508
    Unten links KachelX 9121 KachelY + 1 9788 0.35626704 -0.57707434 20.412598 -33.063924
    Unten rechts KachelX + 1 9122 KachelY + 1 9788 0.35665053 -0.57707434 20.434570 -33.063924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57675291--0.57707434) × R
    0.000321430000000067 × 6371000     		dl = 2047.83053000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57675291--0.57707434) × R
    0.000321430000000067 × 6371000     		dr = 2047.83053000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35626704-0.35665053) × cos(-0.57675291) × R
    0.000383490000000042 × 0.83823772017589 × 6371000     		do = 2047.99479546984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35626704-0.35665053) × cos(-0.57707434) × R
    0.000383490000000042 × 0.83806239949602 × 6371000     		du = 2047.56644939179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57675291)-sin(-0.57707434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83823772017589-0.83806239949602)×R²
    abs(0.35665053-0.35626704)×0.000175320679870028×R²
    0.000383490000000042×0.000175320679870028×6371000²
    0.000383490000000042×0.000175320679870028×40589641000000     		ar = 4193507.71346257m²