Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9121 / 9785
↖ ↑ ↗
← S 33.008664°
E 20.412598°		 ← 2 048.85 m → S 33.008664°
E 20.434570°		 →
↑
2 048.66 m
↓
↑
2 048.66 m
↓
S 33.027088°
E 20.412598°		 ← 2 048.42 m →
4 196 958 m²		 S 33.027088°
E 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556732177734375 y=0.597259521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556732177734375 × 214)
    floor (0.556732177734375 × 16384)
    floor (9121.5)     		tx = 9121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597259521484375 × 214)
    floor (0.597259521484375 × 16384)
    floor (9785.5)     		ty = 9785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9121 / 9785 ti = "14/9121/9785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9121/9785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9121 ÷ 214
    9121 ÷ 16384     		x = 0.55670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9785 ÷ 214
    9785 ÷ 16384     		y = 0.59722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55670166015625 × 2 - 1) × π
    0.1134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35626704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1944580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.610907848757996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35626704} λ = 0.35626704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610907848757996))-π/2
    2×atan(0.542857812507115)-π/2
    2×0.497343233573169-π/2
    0.994686467146338-1.57079632675     		φ = -0.57610986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35626704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.412598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57610986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.008664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9121 KachelY 9785 0.35626704 -0.57610986 20.412598 -33.008664
    Oben rechts KachelX + 1 9122 KachelY 9785 0.35665053 -0.57610986 20.434570 -33.008664
    Unten links KachelX 9121 KachelY + 1 9786 0.35626704 -0.57643142 20.412598 -33.027088
    Unten rechts KachelX + 1 9122 KachelY + 1 9786 0.35665053 -0.57643142 20.434570 -33.027088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57610986--0.57643142) × R
    0.000321560000000054 × 6371000     		dl = 2048.65876000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57610986--0.57643142) × R
    0.000321560000000054 × 6371000     		dr = 2048.65876000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35626704-0.35665053) × cos(-0.57610986) × R
    0.000383490000000042 × 0.838588205209817 × 6371000     		do = 2048.8511056884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35626704-0.35665053) × cos(-0.57643142) × R
    0.000383490000000042 × 0.838412986953479 × 6371000     		du = 2048.42300985304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57610986)-sin(-0.57643142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838588205209817-0.838412986953479)×R²
    abs(0.35665053-0.35626704)×0.000175218256338483×R²
    0.000383490000000042×0.000175218256338483×6371000²
    0.000383490000000042×0.000175218256338483×40589641000000     		ar = 4196958.2906269m²