Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9121 / 25636
↖ ↑ ↗
← S 70.743478°
W 79.793701°		 ← 402.89 m → S 70.743478°
W 79.782715°		 →
↑
402.84 m
↓
↑
402.84 m
↓
S 70.747101°
W 79.793701°		 ← 402.82 m →
162 287 m²		 S 70.747101°
W 79.782715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278366088867188 y=0.782363891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278366088867188 × 215)
    floor (0.278366088867188 × 32768)
    floor (9121.5)     		tx = 9121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782363891601562 × 215)
    floor (0.782363891601562 × 32768)
    floor (25636.5)     		ty = 25636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9121 / 25636 ti = "15/9121/25636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9121/25636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9121 ÷ 215
    9121 ÷ 32768     		x = 0.278350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25636 ÷ 215
    25636 ÷ 32768     		y = 0.7823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.44329833984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39266281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77404878113904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39266281} λ = -1.39266281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77404878113904))-π/2
    2×atan(0.169644742053353)-π/2
    2×0.168044857520256-π/2
    0.336089715040512-1.57079632675     		φ = -1.23470661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39266281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.793701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23470661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.743478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9121 KachelY 25636 -1.39266281 -1.23470661 -79.793701 -70.743478
    Oben rechts KachelX + 1 9122 KachelY 25636 -1.39247106 -1.23470661 -79.782715 -70.743478
    Unten links KachelX 9121 KachelY + 1 25637 -1.39266281 -1.23476984 -79.793701 -70.747101
    Unten rechts KachelX + 1 9122 KachelY + 1 25637 -1.39247106 -1.23476984 -79.782715 -70.747101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23470661--1.23476984) × R
    6.32300000000807e-05 × 6371000     		dl = 402.838330000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23470661--1.23476984) × R
    6.32300000000807e-05 × 6371000     		dr = 402.838330000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39266281--1.39247106) × cos(-1.23470661) × R
    0.000191749999999935 × 0.329798114242072 × 6371000     		do = 402.894320933963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39266281--1.39247106) × cos(-1.23476984) × R
    0.000191749999999935 × 0.329738421207527 × 6371000     		du = 402.821397580011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23470661)-sin(-1.23476984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329798114242072-0.329738421207527)×R²
    abs(-1.39247106--1.39266281)×5.96930345453939e-05×R²
    0.000191749999999935×5.96930345453939e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.96930345453939e-05×40589641000000     		ar = 162286.587304843m²