Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9121 / 11944
↖ ↑ ↗
← S 63.312683°
E 20.412598°		 ← 1 097.30 m → S 63.312683°
E 20.434570°		 →
↑
1 097.15 m
↓
↑
1 097.15 m
↓
S 63.322550°
E 20.412598°		 ← 1 096.92 m →
1 203 696 m²		 S 63.322550°
E 20.434570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556732177734375 y=0.729034423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556732177734375 × 214)
    floor (0.556732177734375 × 16384)
    floor (9121.5)     		tx = 9121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729034423828125 × 214)
    floor (0.729034423828125 × 16384)
    floor (11944.5)     		ty = 11944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9121 / 11944 ti = "14/9121/11944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9121/11944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9121 ÷ 214
    9121 ÷ 16384     		x = 0.55670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11944 ÷ 214
    11944 ÷ 16384     		y = 0.72900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55670166015625 × 2 - 1) × π
    0.1134033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35626704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72900390625 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43887397899561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35626704} λ = 0.35626704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43887397899561))-π/2
    2×atan(0.237194694574428)-π/2
    2×0.232890777012031-π/2
    0.465781554024061-1.57079632675     		φ = -1.10501477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35626704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.412598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10501477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.312683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9121 KachelY 11944 0.35626704 -1.10501477 20.412598 -63.312683
    Oben rechts KachelX + 1 9122 KachelY 11944 0.35665053 -1.10501477 20.434570 -63.312683
    Unten links KachelX 9121 KachelY + 1 11945 0.35626704 -1.10518698 20.412598 -63.322550
    Unten rechts KachelX + 1 9122 KachelY + 1 11945 0.35665053 -1.10518698 20.434570 -63.322550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10501477--1.10518698) × R
    0.000172210000000117 × 6371000     		dl = 1097.14991000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10501477--1.10518698) × R
    0.000172210000000117 × 6371000     		dr = 1097.14991000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35626704-0.35665053) × cos(-1.10501477) × R
    0.000383490000000042 × 0.449121236737269 × 6371000     		do = 1097.29964809971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35626704-0.35665053) × cos(-1.10518698) × R
    0.000383490000000042 × 0.448967365467662 × 6371000     		du = 1096.92370753805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10501477)-sin(-1.10518698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449121236737269-0.448967365467662)×R²
    abs(0.35665053-0.35626704)×0.000153871269606365×R²
    0.000383490000000042×0.000153871269606365×6371000²
    0.000383490000000042×0.000153871269606365×40589641000000     		ar = 1203695.98155419m²