Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9120 / 9786
↖ ↑ ↗
← S 33.027088°
E 20.390625°		 ← 2 048.48 m → S 33.027088°
E 20.412598°		 →
↑
2 048.21 m
↓
↑
2 048.21 m
↓
S 33.045508°
E 20.390625°		 ← 2 048.05 m →
4 195 277 m²		 S 33.045508°
E 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556671142578125 y=0.597320556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556671142578125 × 214)
    floor (0.556671142578125 × 16384)
    floor (9120.5)     		tx = 9120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597320556640625 × 214)
    floor (0.597320556640625 × 16384)
    floor (9786.5)     		ty = 9786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9120 / 9786 ti = "14/9120/9786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9120/9786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9120 ÷ 214
    9120 ÷ 16384     		x = 0.556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9786 ÷ 214
    9786 ÷ 16384     		y = 0.5972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556640625 × 2 - 1) × π
    0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.611291343954956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35588354} λ = 0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611291343954956))-π/2
    2×atan(0.542649669056944)-π/2
    2×0.497182453096759-π/2
    0.994364906193518-1.57079632675     		φ = -0.57643142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57643142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.027088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9120 KachelY 9786 0.35588354 -0.57643142 20.390625 -33.027088
    Oben rechts KachelX + 1 9121 KachelY 9786 0.35626704 -0.57643142 20.412598 -33.027088
    Unten links KachelX 9120 KachelY + 1 9787 0.35588354 -0.57675291 20.390625 -33.045508
    Unten rechts KachelX + 1 9121 KachelY + 1 9787 0.35626704 -0.57675291 20.412598 -33.045508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57643142--0.57675291) × R
    0.000321489999999924 × 6371000     		dl = 2048.21278999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57643142--0.57675291) × R
    0.000321489999999924 × 6371000     		dr = 2048.21278999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35588354-0.35626704) × cos(-0.57643142) × R
    0.000383499999999981 × 0.838412986953479 × 6371000     		do = 2048.47642514411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35588354-0.35626704) × cos(-0.57675291) × R
    0.000383499999999981 × 0.83823772017589 × 6371000     		du = 2048.04819959467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57643142)-sin(-0.57675291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838412986953479-0.83823772017589)×R²
    abs(0.35626704-0.35588354)×0.000175266777588501×R²
    0.000383499999999981×0.000175266777588501×6371000²
    0.000383499999999981×0.000175266777588501×40589641000000     		ar = 4195277.10160386m²