Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 912 / 663
↖ ↑ ↗
← N 76.372620°
W 99.843750°		 ← 2 302.58 m → N 76.372620°
W 99.755859°		 →
↑
2 304.33 m
↓
↑
2 304.33 m
↓
N 76.351896°
W 99.843750°		 ← 2 306.01 m →
5 309 855 m²		 N 76.351896°
W 99.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2227783203125 y=0.1619873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2227783203125 × 212)
    floor (0.2227783203125 × 4096)
    floor (912.5)     		tx = 912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1619873046875 × 212)
    floor (0.1619873046875 × 4096)
    floor (663.5)     		ty = 663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 912 / 663 ti = "12/912/663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/912/663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 912 ÷ 212
    912 ÷ 4096     		x = 0.22265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 663 ÷ 212
    663 ÷ 4096     		y = 0.161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22265625 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161865234375 × 2 - 1) × π
    0.67626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12456339116089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74260217} λ = -1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12456339116089))-π/2
    2×atan(8.36924260501017)-π/2
    2×1.45187499755894-π/2
    2.90374999511787-1.57079632675     		φ = 1.33295367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33295367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.372620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 912 KachelY 663 -1.74260217 1.33295367 -99.843750 76.372620
    Oben rechts KachelX + 1 913 KachelY 663 -1.74106819 1.33295367 -99.755859 76.372620
    Unten links KachelX 912 KachelY + 1 664 -1.74260217 1.33259198 -99.843750 76.351896
    Unten rechts KachelX + 1 913 KachelY + 1 664 -1.74106819 1.33259198 -99.755859 76.351896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33295367-1.33259198) × R
    0.000361690000000081 × 6371000     		dl = 2304.32699000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33295367-1.33259198) × R
    0.000361690000000081 × 6371000     		dr = 2304.32699000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74260217--1.74106819) × cos(1.33295367) × R
    0.00153398000000005 × 0.235606565523478 × 6371000     		do = 2302.57980302091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74260217--1.74106819) × cos(1.33259198) × R
    0.00153398000000005 × 0.235958057996113 × 6371000     		du = 2306.01493423894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33295367)-sin(1.33259198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235606565523478-0.235958057996113)×R²
    abs(-1.74106819--1.74260217)×0.000351492472634968×R²
    0.00153398000000005×0.000351492472634968×6371000²
    0.00153398000000005×0.000351492472634968×40589641000000     		ar = 5309854.67740591m²