Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 912 / 561
↖ ↑ ↗
← N 62.835089°
W 19.687500°		 ← 8 923.80 m → N 62.835089°
W 19.511718°		 →
↑
8 935.96 m
↓
↑
8 935.96 m
↓
N 62.754726°
W 19.687500°		 ← 8 948.19 m →
79 851 756 m²		 N 62.754726°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445556640625 y=0.274169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445556640625 × 211)
    floor (0.445556640625 × 2048)
    floor (912.5)     		tx = 912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274169921875 × 211)
    floor (0.274169921875 × 2048)
    floor (561.5)     		ty = 561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 912 / 561 ti = "11/912/561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/912/561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 912 ÷ 211
    912 ÷ 2048     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 561 ÷ 211
    561 ÷ 2048     		y = 0.27392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27392578125 × 2 - 1) × π
    0.4521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4204662095415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4204662095415))-π/2
    2×atan(4.1390496549492)-π/2
    2×1.3337377579047-π/2
    2.6674755158094-1.57079632675     		φ = 1.09667919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09667919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.835089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 912 KachelY 561 -0.34361170 1.09667919 -19.687500 62.835089
    Oben rechts KachelX + 1 913 KachelY 561 -0.34054373 1.09667919 -19.511718 62.835089
    Unten links KachelX 912 KachelY + 1 562 -0.34361170 1.09527659 -19.687500 62.754726
    Unten rechts KachelX + 1 913 KachelY + 1 562 -0.34054373 1.09527659 -19.511718 62.754726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09667919-1.09527659) × R
    0.00140259999999981 × 6371000     		dl = 8935.96459999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09667919-1.09527659) × R
    0.00140259999999981 × 6371000     		dr = 8935.96459999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34054373) × cos(1.09667919) × R
    0.00306797000000003 × 0.456553145222833 × 6371000     		do = 8923.80460964005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34054373) × cos(1.09527659) × R
    0.00306797000000003 × 0.45780058353743 × 6371000     		du = 8948.18708493021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09667919)-sin(1.09527659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456553145222833-0.45780058353743)×R²
    abs(-0.34054373--0.34361170)×0.001247438314597×R²
    0.00306797000000003×0.001247438314597×6371000²
    0.00306797000000003×0.001247438314597×40589641000000     		ar = 79851755.6480206m²