Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9118 / 25663
↖ ↑ ↗
← S 70.841067°
W 79.826660°		 ← 400.93 m → S 70.841067°
W 79.815674°		 →
↑
400.86 m
↓
↑
400.86 m
↓
S 70.844672°
W 79.826660°		 ← 400.86 m →
160 703 m²		 S 70.844672°
W 79.815674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278274536132812 y=0.783187866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278274536132812 × 215)
    floor (0.278274536132812 × 32768)
    floor (9118.5)     		tx = 9118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783187866210938 × 215)
    floor (0.783187866210938 × 32768)
    floor (25663.5)     		ty = 25663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9118 / 25663 ti = "15/9118/25663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9118/25663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9118 ÷ 215
    9118 ÷ 32768     		x = 0.27825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25663 ÷ 215
    25663 ÷ 32768     		y = 0.783172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.4434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39323805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.56634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.779225966298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39323805} λ = -1.39323805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.779225966298))-π/2
    2×atan(0.168768729408993)-π/2
    2×0.167193227864345-π/2
    0.334386455728691-1.57079632675     		φ = -1.23640987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39323805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.826660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23640987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.841067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9118 KachelY 25663 -1.39323805 -1.23640987 -79.826660 -70.841067
    Oben rechts KachelX + 1 9119 KachelY 25663 -1.39304630 -1.23640987 -79.815674 -70.841067
    Unten links KachelX 9118 KachelY + 1 25664 -1.39323805 -1.23647279 -79.826660 -70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 9119 KachelY + 1 25664 -1.39304630 -1.23647279 -79.815674 -70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23640987--1.23647279) × R
    6.29200000001884e-05 × 6371000     		dl = 400.8633200012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23640987--1.23647279) × R
    6.29200000001884e-05 × 6371000     		dr = 400.8633200012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39323805--1.39304630) × cos(-1.23640987) × R
    0.000191749999999935 × 0.328189671501799 × 6371000     		do = 400.929384151068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39323805--1.39304630) × cos(-1.23647279) × R
    0.000191749999999935 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 400.856775256341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23640987)-sin(-1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328189671501799-0.328130235874851)×R²
    abs(-1.39304630--1.39323805)×5.94356269478791e-05×R²
    0.000191749999999935×5.94356269478791e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.94356269478791e-05×40589641000000     		ar = 160703.330949051m²