Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9118 / 11359
↖ ↑ ↗
← N 75.365894°
W129.913330°		 ← 154.31 m → N 75.365894°
W129.907837°		 →
↑
154.37 m
↓
↑
154.37 m
↓
N 75.364505°
W129.913330°		 ← 154.33 m →
23 822 m²		 N 75.364505°
W129.907837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139137268066406 y=0.173332214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139137268066406 × 216)
    floor (0.139137268066406 × 65536)
    floor (9118.5)     		tx = 9118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173332214355469 × 216)
    floor (0.173332214355469 × 65536)
    floor (11359.5)     		ty = 11359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9118 / 11359 ti = "16/9118/11359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9118/11359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9118 ÷ 216
    9118 ÷ 65536     		x = 0.139129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11359 ÷ 216
    11359 ÷ 65536     		y = 0.173324584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.72174072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26741535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173324584960938 × 2 - 1) × π
    0.653350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05256216793156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26741535} λ = -2.26741535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05256216793156))-π/2
    2×atan(7.78782929219443)-π/2
    2×1.44308965635762-π/2
    2.88617931271524-1.57079632675     		φ = 1.31538299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26741535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.913330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31538299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.365894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9118 KachelY 11359 -2.26741535 1.31538299 -129.913330 75.365894
    Oben rechts KachelX + 1 9119 KachelY 11359 -2.26731948 1.31538299 -129.907837 75.365894
    Unten links KachelX 9118 KachelY + 1 11360 -2.26741535 1.31535876 -129.913330 75.364505
    Unten rechts KachelX + 1 9119 KachelY + 1 11360 -2.26731948 1.31535876 -129.907837 75.364505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31538299-1.31535876) × R
    2.42299999999585e-05 × 6371000     		dl = 154.369329999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31538299-1.31535876) × R
    2.42299999999585e-05 × 6371000     		dr = 154.369329999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26741535--2.26731948) × cos(1.31538299) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252645357920444 × 6371000     		do = 154.312694765077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26741535--2.26731948) × cos(1.31535876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252668801799655 × 6371000     		du = 154.32701399978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31538299)-sin(1.31535876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252645357920444-0.252668801799655)×R²
    abs(-2.26731948--2.26741535)×2.34438792104941e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.34438792104941e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.34438792104941e-05×40589641000000     		ar = 23822.2525279149m²