Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9117 / 6899
↖ ↑ ↗
← N 27.313214°
E 20.324707°		 ← 2 170.82 m → N 27.313214°
E 20.346680°		 →
↑
2 171.05 m
↓
↑
2 171.05 m
↓
N 27.293689°
E 20.324707°		 ← 2 171.21 m →
4 713 373 m²		 N 27.293689°
E 20.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556488037109375 y=0.421112060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556488037109375 × 214)
    floor (0.556488037109375 × 16384)
    floor (9117.5)     		tx = 9117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421112060546875 × 214)
    floor (0.421112060546875 × 16384)
    floor (6899.5)     		ty = 6899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9117 / 6899 ti = "14/9117/6899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9117/6899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9117 ÷ 214
    9117 ÷ 16384     		x = 0.55645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6899 ÷ 214
    6899 ÷ 16384     		y = 0.42108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55645751953125 × 2 - 1) × π
    0.1129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35473306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42108154296875 × 2 - 1) × π
    0.1578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.495859289669861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35473306} λ = 0.35473306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.495859289669861))-π/2
    2×atan(1.64190850807531)-π/2
    2×1.0237509193069-π/2
    2.0475018386138-1.57079632675     		φ = 0.47670551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35473306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47670551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.313214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9117 KachelY 6899 0.35473306 0.47670551 20.324707 27.313214
    Oben rechts KachelX + 1 9118 KachelY 6899 0.35511655 0.47670551 20.346680 27.313214
    Unten links KachelX 9117 KachelY + 1 6900 0.35473306 0.47636474 20.324707 27.293689
    Unten rechts KachelX + 1 9118 KachelY + 1 6900 0.35511655 0.47636474 20.346680 27.293689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47670551-0.47636474) × R
    0.00034076999999999 × 6371000     		dl = 2171.04566999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47670551-0.47636474) × R
    0.00034076999999999 × 6371000     		dr = 2171.04566999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35473306-0.35511655) × cos(0.47670551) × R
    0.000383489999999986 × 0.888511433335083 × 6371000     		do = 2170.8242750083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35473306-0.35511655) × cos(0.47636474) × R
    0.000383489999999986 × 0.888667745584006 × 6371000     		du = 2171.20617940672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47670551)-sin(0.47636474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888511433335083-0.888667745584006)×R²
    abs(0.35511655-0.35473306)×0.000156312248922208×R²
    0.000383489999999986×0.000156312248922208×6371000²
    0.000383489999999986×0.000156312248922208×40589641000000     		ar = 4713373.25414477m²